曲面的单位法向量

背景知识

• 参数曲面的偏导数
  • 尤其是在直观含义上，要对参数曲面的偏导数以及它们所表示的内容有很好的理解。
• 叉积 （视频）

我们要做什么

• 若一个曲面的参数化方程为 $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍，则这个曲面的单位法向量由下式给出：

  $\begin{array}{r}\pm {\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))}{|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))|}}\end{array}$‍

• 从单位向量函数我们总能得到两个值。如果曲面是闭合的，如球面或环面，这两个向量可以被分别表述为“向内的”和“向外的”。
• 这对理解下一篇文章要讲的 三维通量 很有帮助。

单位法向量

例：如何求一个单位法向量

第一步：找到一个法向量（不必是单位向量）：

选出正确答案：

选出正确答案：

• (选择 A)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍
• (选择 B)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍
• (选择 C)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))+({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))+({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

检查

答案

第一个选项是正确的：

$\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

如果你对这个还不太理解，你可以复习一下 叉积 中的视频。

两个偏微分向量 ${\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2)$‍ 和 ${\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2)$‍ 都在点 $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(1,-2)$‍ 处与曲面相切。它们的叉积给出的向量与它们俩本身都垂直，因此，叉积的结果是曲面在这一点处的法向量。

$\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))=\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

检查

答案

从计算偏导数开始，首先，求对 $t$‍ 的偏导：

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(t+1)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(s^2-t^2+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2t\end{array}\right]\end{array}$‍

接着，求对 $s$‍ 的偏导：

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(t+1)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(s^2-t^2+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2s\end{array}\right]\end{array}$‍

然后，求叉积：

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2t\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2s\end{array}\right]& =\text{det}\left(\begin{array}{ccc}\widehat{\mathbf{\text{i}}}& \widehat{\mathbf{\text{j}}}& \widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ 1& 0& -2t\\ 0& 1& 2s\end{array}\right)\\ \\ & =(0-(-2t))\widehat{\mathbf{\text{i}}}+(0-2s)\widehat{\mathbf{\text{j}}}+(1-0)\widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ \\ & =2t\widehat{\mathbf{\text{i}}}+-2s\widehat{\mathbf{\text{j}}}+1\widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ \end{array}$‍

或者，我们可以把它写成列向量的形式，我们就会得到：

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t\\ -2s\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

第二步，把它变成一个单位法向量：

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

检查

答案

正如我在上一节所说，当我们把 $(t,s)=(1,-2)$‍ 代入到法向量表达式中之后，我们得到：

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2(1)\\ -2(-2)\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

这个向量的长度由下式算出：

$\sqrt{2^2+4^2+1^2}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$‍

为了把它变成一个单位向量，我们要把它从原来的的长度 $\sqrt{21}$‍ 缩小到 $1$‍。所以，我们要把它的每一个分量都除以 $\sqrt{21}$‍ ：

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2/\sqrt{21}\\ 4/\sqrt{21}\\ 1/\sqrt{21}\end{array}\right]\leftarrow \text{单位向量}\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

检查

答案

法向量（不一定是单位向量）的一般表达式为：

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t\\ -2s\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

作为 $t$‍ 和 $s$‍ 的函数，这个向量的长度为：

$\sqrt{(2t{)}^2+(-2s{)}^2+1}=\sqrt{4t^2+4s^2+1}$‍

为了把我们的法向量表达式变成 单位 法向量的表达式，我们把向量的每一个分量都除以它的长度：

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\\ -2s/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\\ 1/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\end{array}\right]\end{array}$‍

选择方向

总结

• 给定一个由函数 $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍ 参数化的曲面，寻找这个曲面单位法向量表达式的步骤如下：
• 第一步：求 $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍ 的两个偏导数的叉积，得到法向量（不一定是单位向量）：

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))\end{array}$‍

• 第二步：用这个向量表达式除以它本身的长度，对它单位化：

• 你也可以对这个表达式乘以 $-1$‍，其结果仍然是单位法向量。
• 学习这个的目的是为了计算 三维通量。