概率与维恩图

让我们通过玩扑克牌来认识一下统计学 为了录制这段视频 我们必须假设这堆牌里面没有大小王 你可以带着大小王去做同样的事 不过你得到的结果就会有一点差别 所以呢，在没有大小王的情况下 我们先来想一想 在标准的一副扑克牌里，有几张牌? 你有四种花色 他们是黑桃、方片、梅花 当然还有红桃 你有四种花色 每种花色里，都有13张不同的牌 也就是13个不同的点数 所以每个花色都有13中不同的牌 你有A，然后就是2、3 4、5、6、7、8、9、10 然后就是J、Q、和K 共计13张 所以对于每种花色，你都可以有上面的任意一个点数 而对于每一个点数，你都可以有任意一种花色 你可以有方片J、梅花J 黑桃J以及红桃J 所以（如果你想知道牌组里牌的个数，）你必须把它们相乘 当然你也可以一张一张地去数 把大小王拿走，然后一张一张地去数 但是如果你想通过计算得到的话 你有四种花色，每种花色有13个点数 所以你需要用4去乘13 你就会知道一副扑克牌里有52张牌 另一种表达方式就是 你有13个不同的的点数 每种点数都会有4种花色 13乘4就会得到牌的总数52 现在请把注意力从扑克牌里移开 想一想不同事件发生的概率 现在我把这副牌打乱 我很认真地将它打乱了 然后我从中随机抽取一张牌 我现在想知道 我抽到了J的可能性 呃，有多少事件是重复的呢? 呃，我可以抽取牌堆里的52张牌中的任意一张 我有52种不同的抽牌可能 然而这52种可能里，有多少是J呢？ 点数为J的牌有黑桃J、方片J 梅花J以及红桃J 一共四张J 现在拿副牌里有4张J 所以我抽到J的可能性就是4/52 上下同时除以4，4÷4=1 52÷4=13，（所以答案就是1/13） 现在在让我们想想概率 让我们重新开始一遍 我现在把J放回去，然后重新洗牌 现在我又有52张牌了 那么我抽到红桃的概率是多少？ 现在我从这52张牌中随机地抽取一张 我抽到的牌的花色是红桃的概率是多少？ 现在我有52张牌供我选择 52种抽牌可能，每种可能发生的几率相同 牌堆里现在有多少红桃呢？ 它们当中有13张是红桃 每种花色你有13张不同的牌 所以牌堆里有13张红桃、13张方片 13张黑桃、13张梅花 所以13/52的概率我会抽到红桃 然后分子分母同时除以13化简 意思就是有1/4的概率我会抽到红桃 也就是说，当我走到那一堆被打乱的牌堆前 然后随机地抽取一张牌 我抽到红桃的概率是1/4 那么现在我们来做一点有趣的事情 虽然它的答案也许是显而易见的： 我从那堆打乱的牌中抽到花色为红桃同时点数为J的牌的概率是多少呢？ 如果你对扑克牌稍微熟悉一点的话 你就会知道同时为红桃和J的牌就只有一张 从字面上讲，它就叫红桃J 所以我们现在在讨论我抽取到“红桃J”的概率 所以我们现在在讨论我抽取到“红桃J”的概率 现在就只有一个事件，一张牌符合要求 它就在那里，混在52张可能被抽到的牌里 所以我有1/52的概率会抽到红桃J 就是那张同时是红桃和J的牌 那么现在让我们最一点更有意思的事情 你可以把视频暂停，如果你需要时间去思考 你可以把视频暂停，如果你需要时间去思考 如果我有52张牌，然后我把它洗好 然后从中抽取一张牌 我抽到的是牌花色是红桃或者点数是J的概率是多少？ 所以他可能是红桃J也可能是方片J 他可能是黑桃J也有可能是红桃Q 它甚至可以是红桃2。那么我抽到符合要求的牌的概率是多少？ 这也许比有意思的东西更超越了一步 因为我们知道我们有52种可能的结果 但是又有多少能满足条件： 是红桃或者是J呢？ 为了更好地明白这个问题，我要画一个Venn图 这听起来很炫酷，然而它并不是这样的 想象我画在这里的长方形代表所有结果 如果你愿意的话，你可以把它的面积想象成52 那么在这52中结果里 有多少种结果是J？ 我们已经知道，1/13的概率我们会得到J 所以我就在这里画一个小圈圈 我大致估计它的大小可以代表 我抽取到J的概率 所以它大致就会占据长方形1/13或者说4/52的面积 所以我就这样画了。现在那里就是抽到J的可能结果 它是4，52种结果中有4种会抽到J 所以它的概率就是4/52或者1/13 那么我抽到红桃的可能性呢？ 我就另外画一个圆圈来代表它 52张牌中的13张是红桃 其中有一个同时是红桃和J 所以我就让这两个圆重叠，希望这能说的过去 嗯，等一下 所以一共有13张牌是红桃 这就是红桃的所有牌的数量 让我××××××××（英文字幕疑似有误，无法翻译） 现在它看起来清楚了很多 嗯，J的数目 当然这个重叠部分就是同时为红桃和J的部分 52张牌里同时为红桃和J的数量 它同时处于绿色和橙色两个圈圈内 所以我打算把它涂黄 我向来都是这么做的 那个地方就是同时为J和红桃的数目 让我画一个小小的箭头。。。它看起来有些凌乱了 其实我应该把它画大一点的。。。 同时为J和红桃的数目 就是那一个小小的重叠区域 那么得到J或者红桃的概率是多少呢？ 如果你把概率想做符合要求的事件数量 除以总事件数量 我们已经知道了总事件数量是52 那么有多少会满足条件呢？ 他就会是那个。。。那个。。。 你可以说，“嗯，那个绿色的圆圈标明了J的数量， 而那个橙色的圆圈则标明了红桃的数量。“ 所以呢，你有可能会想， ”嗯，为什么不把绿色代表的数量和橙色代表的数量相加呢？“ 但是，如果你那样做了的话，你就造成了重复计数 如果你简单地把它相加，就是4+13 这么做的含义是什么? 含义就是我们有4个J和13个红桃 他们是分开的两句话 但是如果我们把它们加起来 如果我们去数红桃J的个数的话 我们就把红桃J放在了J里面计数一次，然后又把它放到了红桃里面计数一次 所以我们就数了它两次，虽然一副牌里只有一个红桃J 所以你必须把双方都有的项减掉一次 你必须把那个同时为J和红桃的项 减掉一次 所以当你减去了一个1 从另一方面来讲 你想要的是得到这块区域的面积 让我来概括一下 如果你有一个圆圈，然后你又有另外一个与它重叠的圆圈 你想要计算总的面积 你就可以找到他们的面积 然后进行相加 但是，如果你这样做了 你就会发现重叠区域被你重复计算了一次 所以为了使重叠区域只被计算一次 你必须再把重叠区域的面积从总和中减掉一次 假设这块区域的面积是A，这块的面积是B 它们重叠的面积是C 它们组合而成的图形的面积就是 A+B-C 对于概率而言，也是一样的 在我们计算所有的J的时候我们算了一遍红桃J 在我们计算所有的红桃时我们又计算了一遍红桃J 我们把红桃J计算了两次 所以这就会是4+13-1=16 概率就会是16/52 分子分母都可以被4整除 所以，把它们化简 16÷4=4，52÷4=13 16÷4=4，52÷4=13 所以我们有4/13的概率得到J或者红桃