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T 统计量置信区间

萨尔用新设计来计算一个引擎的排放量的置信区间。 Sal Khan 创建

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这还是上一节的题 这里我就不求题设要求的内容了 这里我就不求题设要求的内容了 而是使用相同数据 算出95%置信区间 你可以忽略下面的这些内容 我要用这些数据求出新引擎实际均值的95%置信区间 我要用这些数据求出新引擎实际均值的95%置信区间 95%置信区间 因为这里只有是10个样本值 所以我们要使用t分布 我提前准备了t表格 我们要求的是95%置信区间 也就是求95%的t值所落在的区间 也就是求95%的t值所落在的区间 我来画一个t分布的图像 t分布非常类似正态分布 只是两端尾部更肥 t分布非常类似正态分布 只是两端尾部更肥 这是一个标准化的t分布 均值是0 这是一个标准化的t分布 均值是0 我们需要求出一个负值和一个正值 让其中区域面积是95% 我们需要求出一个负值和一个正值 让其中区域面积是95% 也就是说 这个区域内概率是95% 要求这些临界t值 我们可以借助于t表格 要求这些临界t值 我们可以借助于t表格 这里需要使用两侧版的表格 因为关于中间对称 两侧在表格第二行 找到95% 95%在这里 而数据点是10个 10-9 自由度是9 而数据点是10个 10-9 自由度是9 9个自由度的t分布 95%对应这里 也就是说95%的置信区间在-2.262到+2.262之间 也就是说95%的置信区间在-2.262到+2.262之间 也就是说95%的置信区间在-2.262到+2.262之间 这里就是这个意思 t分布中央左右-2.262到2.262之间包含95%的面积 t分布中央左右-2.262到2.262之间包含95%的面积 这是我们的t分布 这是我们的t分布 如果随机从该t分布中取一个t值 将有95%的几率落在这个范围内 将有95%的几率落在这个范围内 也就是说 随机取一个t值 或者说t统计量 有95%几率 该t统计量落在-2.262到2.262之间 有95%几率 该t统计量落在-2.262到2.262之间 95%几率 再看 从这个样本中 我们能推导出一个t统计量 样本均值和样本标准差都知道 样本均值是17.17 这是上一节求出的 也就是全部相加除以10 而样本标准差是2.98 根据以上信息 t统计量能够求出来 根据以上信息 t统计量能够求出来 根据以上信息 t统计量能够求出来 t统计量可以看成是9自由度t分布的一个随机样本值 t统计量可以看成是9自由度t分布的一个随机样本值 根据我们的样本得到的t统计值 也就是样本均值17.17减去总体均值μ… 也就是抽样分布的均值 抽样分布均值和总体均值是相等的 抽样分布均值和总体均值是相等的 除以样本标准差S 即2.98 除以根号下样本容量 这个我写过很多次了 这就是t统计量 我们的样本其实可以理解为 随机从9自由度t分布中抽取一个样本值 这个值有95%的几率 落在-2.262到2.262之间 也就是说 95%概率仍然适用于这里 下面使用计算器进行一些计算 下面使用计算器进行一些计算 先计算这个分母 2.98除以根号10 结果是0.9423 然后将两侧同时乘以这个分母 然后将两侧同时乘以这个分母 我算一算 这里其实也就是两个不等式 我算一算 这里其实也就是两个不等式 这个量大于这个量 这个量大于这个量 我们可以对整个不等式同时进行处理 这里将整个不等式乘以这个分母 我们刚计算过这个数值 我写一下 我们刚计算过这个数值 我写一下 2.98除以根号10等于0.942 整个不等式同时乘以0.942 左侧得到-2.262×0.942 由于两侧乘的是正数 不等号方向不变 仍然是< 中间这个乘以0.942以后分母没有了 中间这个乘以0.942以后分母没有了 剩下17.17-总体均值μ 后面是小于2.262×0.942 后面是小于2.262×0.942 这里也就是将不等式三侧同时乘以了这个值 这里也就是将不等式三侧同时乘以了这个值 我写一下 全部都乘以了0.942 我写一下 全部都乘以了0.942 这两个数是一样的 所以约去 下面用计算器求一下这个数字 0.942×2.262=2.13 0.942×2.262=2.13 右侧这里的结果是2.13 而左侧前只多个负号 所以是-2.13 不等式于是有-2.13<17.17-均值<2.13 不等式于是有-2.13<17.17-均值<2.13 我要解出这个均值μ 我不喜欢它前面有个负号 我更喜欢μ-17.17的形式 因此我要将整个不等式乘以-1 整个不等式乘以-1后 这个-2.13变成+2.13 由于乘以的是负数 不等号要改变方向 由于乘以的是负数 不等号要改变方向 小于号变成大于号 中间-μ变成+μ +17.17变成-17.17 这个不等号也得改变方向 而+2.13变成-2.13 基本好了 下面只用解出μ 最后只需要三侧同时加上17.17 有2.13+17.17大于… μ-17.17+17.17也就是μ 然后大于 这个>μ>-2.13+17.17 大于号太多 这里更自然的写法 是将不等式反过来 大于号太多 这里更自然的写法 是将不等式反过来 大于号太多 这里更自然的写法 是将不等式反过来 大于号太多 这里更自然的写法 是将不等式反过来 大于号太多 这里更自然的写法 是将不等式反过来 下面计算一下 2.13+17.17 这是上限 即19.3 2.13+17.17 这是上限 即19.3 也就是这个数字 用相同颜色 它等于19.3 也就是这个数字 用相同颜色 它等于19.3 它大于μ 然后大于-2.13+17.17 它大于μ 然后大于-2.13+17.17 也就是17.17-2.13 它等于15.04 记得吧 t统计量有95%的概率落在这个区间内 记得吧 t统计量有95%的概率落在这个区间内 然后根据t统计量做了一些数学计算 所以任意一步中的区间都对应95%概率 所以落在这个区间内的几率也是95% 有95%几率 实际总体均值 也就是抽样分布的均值 有95%的几率 或者说 我们"相信"有95%几率 落在这个区间内 就是这样了