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主要内容
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使用相似性证明勾股定理

视频字幕

这是一个直角三角形 它是直角三角形是因为它有一个角是90度 或者说它有一个直角 现在我们来看这条最长的边 你可以把它看作是 直角三角形最长的边 也可以看作是直角的对边 总之这条边我们叫它斜边 这个名字对于它简单的概念来说略显华丽 只不过就是直角三角形的最长边 或者说是直角的对边而已 但是这还是有用的 因为用一个单词比较简单 我们不必说"他们说的是这条边 这条最长的直角的对边"直接说斜边就可以了 现在我要做的是证明一个关系 一个非常著名的关系 一个关于直角三角形各边长度之间的 著名的关系 我们假设边AC的长度 注意是大写的A和C 我们假设长度是小写的a 同时把边BC的长度称为b 我用大写字母表示点而小写字母表示长度 最后我们把斜边的长度 即AB的长度 叫做c 现在我们来看看我们是否能得出a b c之间的关系 在这之前我需要作一条辅助线 或者说辅助线段 在点C和斜边之间的一条辅助线段 这条辅助线将和斜边成直角 这并不难 我们准备叫这个点D D就是辅助线和斜边的交点 如果这时候你担心 怎么作出这条辅助线 你可以想象一下把整个三角形这么旋转一下 这对后面的证明没有作用 但是这能让你 更直接地作出辅助线 我已经把它转了过来 现在斜边 成为了底边 这是点B 这是点A 我们已经把三角形转了过来 上面这个点是C 你可以想象从点C扔一块石头 这块石头绑在一根绳子上 绳子连在点C 于是 绑线的石头会和斜边形成直角 以上所做的都是为了作出辅助线段CD 垂足就是点D 在这里 我之所以作这么一条辅助线是因为这样子 我们就可以研究相似三角形的有趣关系了 现在一共有三个三角形 三角形ADC 三角形DBC以及原来的大三角形 我们应该能够在这些三角形之间建立相似关系 首先我们来证明三角形ADC相似于大三角形 因为它们都有一个直角 三角形ADC的这个角是直角 如果这个角是90度 那么这个角一定也是90度 它们是互补的因此它们的度数和必须是180度 所以两个三角形都有一个直角 小三角形在这里有一个直角 大三角形显然我们已知它有一个直角 同时 它们还共有同一个角 角DAC或者角BAC 随你们怎么叫它 我们可以把那些三角形写下来 我从小的开始 三角形ADC 我给它涂上阴影 所以这就是我们要看的三角形 ADC 然后我们一个角一个角来对应从蓝色的角 直角 到没有标记的那个角 这个直角并不对应那边那个角 这个直角和大三角形的直角对应 所以 我们可以推出三角形ADC 和大三角形相似 我们再在大三角形上对应一次 从蓝色角A 到直角 我们不必再去看那个直角 所以三角形ADC相似于三角形ACB 三角形ACB 因为它们是相似的 所以我们可以建立 它们边的长度比关系 比如说对应边的比例 我们知道相似三角形对应边的 长度的比值 是一个常数 所以我们可以利用这个比值 这个小三角形的斜边AC 还有大三角形的斜边 AB AC比AB的值一定与AD 比上某一条边的值相等 我们要在相似三角形上取 对应的点和边 所以是AD比AC 你可以自己看看这些三角形 你会发现 边AD是蓝色角和红色角 的夹边 边AD在这两个角中间 同时边AC也在大三角形的蓝色角和红色角 的中间 所以这些边是大三角形的 而这些是小三角形上的对应边 如果有点不明白 看它们的标记字母 只要你把相似三角形的字母顺序写对了 你就能找对对应点 AC和大三角形的AB对应 小三角形的AD和大三角形的AC对应 我们已知AC的长度是a 小写的a 所以a代表AC 我们没有给AD的长度标字母 但是我们知道AB的长度用c表示 我们没有表示AD长度的字母 那么就叫它d 所以d对应着那一段的长度 而c对应这整条斜边的长度 我们把DB的长度称为e 这会让证明简洁一些 所以现在AD是d 于是我们得到关系a比c等于d比a 如果我们把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方 a的平方等于c乘以d 也就是cd 这是一个有趣的结果 让我们来看看我们可以对剩下那个三角形做点什么 就是这个三角形 同样地 它有一个直角 大三角形也有一个直角 并且它们在这里共享同一个角 所以根据相似判定 这两个三角形 是相似的 也就是说三角形BDC 我们按从粉色的角开始到直角 再到未标记角的顺序写字母 所以三角形BDC相似于大三角形 我们要来观察大三角形的对应点 我们从粉色角B开始 到直角C再到A BCA 从粉色角到直角再到未标记角 一样的顺序 和小三角形一样的顺序 现在我们要找一些关系 先来看小三角形的边BC BC比上BA BC比BA 我们还是在比较两个三角形的斜边 于是BC比BA等于BD比上另一条边 让我换一种颜色 BD是其中一条直角边 BD在这里是一条较短的直角边 找到对应的大三角形的直角边BC 所以是BD比BC 我们已知BC用字母b表示 BC就是小写的b BA是小写的c BD根据之前我们定义的是小写的e 所以这是小写的e 交叉相乘 这里是 b乘以b 我在很多视频中提到交叉相乘 两边都要乘以相应的分母 所以b乘以b等于ce 现在我们可以做一件有趣的事情 我们把这两个等式加起来 让我重新来写一下 b的平方等于ce 如果我们把左手边加起来将会得到 b的平方加上a的平方 而它们等于cd加上 ce 右边两项有公因式c所以我们把c提出来 所以右边等于 c乘以d和e的和 给d加e套上括号 结果是什么 d是这条长度 e是这段长度 d加上e实际上同样等于c 所以这就成了c c乘以c得到c的平方 现在我们得到了一个有趣的关系 我们得到a的平方加上b的平方等于c的平方 让我重新写一遍 让我用个新的颜色 刚才不小心删掉了 现在再写一遍 所以我们刚才得到了a的平方 加上b的平方等于c的平方 这是一个任意的直角三角形 这两个小三角形也是任意的 我们刚刚得到了直角边的平方和 等于斜边的平方 这大概是数学领域最简单却最有名的定理之一 它以毕达哥拉斯的名字命名 不知道他是不是第一个发现这个定理的人 但是这个定理就叫做毕达哥拉斯定理 就是勾股定律 这并不是一切几何学的基础但是却对于 几何学至关重要 并且它是所有三角运算的基础 这个定律相当使用因为当你知道一个直角三角形 的两边 你可以轻松得到第三边