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电器工程

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课程 4: 自然和强制反应

RL自然响应

RL电路的自然响应。威利·麦卡利斯特著。

我们研究了电阻和电感电路的自然响应。这种讨论与RC电路的分析类似。

这个start text, R, L, end text电路相当常见。它出现在任何时候，线圈涉及到电路，例如当你驱动一个机械继电器引起物理运动(继电器包含一个线圈用作电磁铁)。电感几乎存在于每一个电源和许多滤波器中。所有的电线和电路板都有一个小的自感，这在非常快的电路中是很重要的。

这是一个我们必须考虑时间的电路。要得到精确的理解需要从微积分的概念。我们使用导数来描述start text, R, L, end text电路的行为。

我们要做的是什么

对于电阻电感电路，如果电感的初始电流为start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript，则电流将根据以下情况指数衰减:

$i(t) = \text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

其中start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript是t, equals, 0时的当前值。这叫做自然反应。

start text, R, L, end text 电路的时间常数是 tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction。

时间常数是指数的陡度的量度。它的单位是秒。

电路的自然响应就是当没有外部影响(没有能量进入)时电路所做的事情。它是电路最基本的行为。当放置在更大的电路中时，自然反应在整体行为中起着至关重要的作用。

[自然和强迫反应]

设置RL自然响应

为了让start text, R, L, end text 电路做一些事情，我们调用一个外部助手来添加一些能量，然后后退一步，让它独自运行，同时观察发生了什么。

在这个示意图的右边，我们有电感器start text, L, end text和电阻器start text, R, end text。这就是我们要研究的电路。在左边是我们的“外部助手”，由一个电流源、start text, I, end text、电阻start text, R, end text, 0和一个处于关闭位置的开关组成。

假设开关已关闭很长时间，蓝色回路显示电流在该电路中的流动情况:

我们怎么知道所有的电流流过电感而没有电流流过任何一个电阻?电感方程告诉我们:

v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

源电流是恒定的，不会随时间而改变。

这意味着当前随时间的变化是start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, 0。

如果我们把这个值放入电感方程，我们得到v, equals, start text, L, end text, dot, 0, equals, 0。整个电感器(因此两个电阻)的电压为0美元。欧姆定律告诉我们，电压为0的电阻，电流为0。

当流过电感器的电流恒定时，我们说:电感器“看起来像”短路，因为它的端子上有0的电压，就像理想的导线一样。

初始条件

现在有一个电流流过电感器。我们在t, equals, 0时打开开关，然后算出初始条件。

打开开关从start text, R, L, end text部分断开辅助电路left parenthesis, start text, I, end text, comma, start text, R, end text, 0, right parenthesis。在帮助器端，当前的 start text, I, end text 开始流经 start text, R, end text, 0, (帮助器电路已经完成了它的工作，从现在开始我们将不再关注这部分)。在start text, R, L, end text端，当前的start text, L, end text会立即翻转过来，开始流经start text, R, end text:

[R0是做什么的?]

初始条件摘要

在开关打开之前，t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript，电感器有一个电流，我们称之为start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript，在电感器和电阻之间有0电压。

稍后，在t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript处，开关打开，当前start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript仍然在start text, L, end text中流动，现在在start text, R, end text中流动。

电感器中的电流不会，事实上，也不可能瞬间改变。所以开关打开后流过电感器的电流等于开关打开前的电流。

[为什么？]

在过去的所有时间，直到t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript，电感器中的电流为start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript:

RL自然反应-直观的描述

让我们推断一下接下来会发生什么。我们要算出i和v作为时间的函数。

我们在上面说过，start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript在开关打开后立即在电感器中流动。电压发生了什么变化?

电阻器中的电流从0跳到start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript，因此电压立即跳到v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript, start text, R, end text。

[电压可以在瞬间改变。]

现在我们知道了开关打开后的电流和电压。接下来让我们想想，经过很长一段时间之后，这条电路最终会在哪里结束。

电阻(不像理想的电感或电容)以热能的形式耗散能量。热量来自于存储在电感磁场中的能量(我们的自然响应电路中唯一的能量来源)。如果我们等很长时间，所有从电感器中开始的能量最终都会被电阻转化为热。当所有的能量都消失时，i是0，v是0。这是电路的最终状态。

i, left parenthesis, t, right parenthesis和v, left parenthesis, t, right parenthesis现在看起来像这样，最后的响应填充如下:

中间会发生什么?

现在我们填入从t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis到“很长一段时间以后”之间的时间间隔。现在，我要假设有一条平滑的连接曲线将曲线的两段连接起来。我猜变化率在开始的时候可能会更高，当电流很大的时候电阻器的功率耗散率也会更高。利用这种直觉，我可以画出电流和电压的预测曲线。

这对于start text, R, L, end text电路的自然响应是一个很好的猜测。用我们的直觉，我们算出了开始和结束的状态，并估计了电流和电压在开始和结束之间的过渡是什么样的。我们不确定曲线下降的速度有多快，也不确定“一段很长的时间”到底有多长。

接下来，我们开发一个精确的解，这要求我们使用一些微积分。

start text, R, L, end text 自然响应的形式派生

我们希望导出start text, R, L, end text 自然响应、start color #11accd, i, end color #11accd和start color #e07d10, v, end color #e07d10作为时间的函数。推导过程与 RC自然响应相同。

我们假设在start text, L, end text中的初始电流为start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript 。

为组件建模

这两个分量由它们特有的i-v方程来建模。

电阻由欧姆定律描述:

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, i, start text, R, end text

电感器由电感器i-v方程描述:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

[被动符号惯例]

为电路建模

我们可以把基尔霍夫电压定律写在示意图的左上角逆时针旋转:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, 0

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0

这是对电路的微分方程建模。

从这里开始，我们将v, start subscript, start text, R, end text, end subscript称为v。

解决电路问题

上式为一阶常微分方程 (ODE)。

[这个术语是什么意思?]

现在我们来看看ODE的解。一种方法是对解决方案进行有根据的猜测，并进行尝试。这就是我们要做的，正如我们在分析RC自然响应时所做的那样。

[还有其他方法吗?]

为了解微分方程，我们想出一个电流函数，把这个函数代入微分方程看看它是否成立。

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0 (微分方程)

正如我们在start text, R, C, end text电路中所做的那样，我们尝试了一个带有一些可调参数的指数函数，K和s。

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

t是时间
i, left parenthesis, t, right parenthesis是电流，作为时间
K的函数，s是常数，我们必须算出，
K是一个振幅项，可以将电流放大或缩小，
s必须有1, slash, t的单位，所以我们得到一个无单位指数。

将我们提出的解代入微分方程，看看是否可行:

start text, L, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start text, R, end text, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

我们来计算第一项的导数:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript

[提醒一下:指数函数的导数]

将导数代回微分方程:

s, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

现在我们可以提出普通的K, e, start superscript, s, t, end superscript项。

left parenthesis, s, start text, L, end text, plus, start text, R, end text, right parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

这个方程描述了我们的特定电路，用提议的i, left parenthesis, t, right parenthesis。

现在我们算出两个常数，K和s，看看能不能把方程变成真。

我们可以设置K, equals, 0来得到一个解。但那很无聊。你什么也不投入，什么也得不到。

我们可以使e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0来得到另一个解。这也很无聊。如果我们把s设为负数，让s变成plus, infinity，这意味着我们永远坐在那里，等待电流变为零。稍等一下。

使等式成立的第三种方法是设置s, start text, L, end text, plus, start text, R, end text, equals, 0。这是有趣的。如果:

s, equals, minus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction

这解决了s，并使我们的电流函数看起来像这样:

$i(t) = K\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

最后一步是求出K，振幅因子。我们用初值条件来做。在开关被翻转的瞬间，感应器有一个已知的电流。为了求K，我们把已知的t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript。当前值是i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript。

$i(0) = \text I_0 = K\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text R\cdot 0}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

$\text I_0 = K\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\! 0}}}}$

K, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript

全部完成!我们找到了一个函数和两个常数使微分方程成立。我们已经解出了开关打开后的所有时间的电流。

start text, R, L, end text电路自然响应的通解为:

$i(t) = \text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

我们可以直接从欧姆定律得到电压v, left parenthesis, t, right parenthesis:

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start text, R, end text, dot, i, left parenthesis, t, right parenthesis

$v(t) = \text R\,\text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

start text, R, L, end text 自然响应如下所示

这些图显示了start text, R, L, end text 自然响应的形状。对于t, is less than or equal to, 0，当前值是start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript。在t, equals, 0之后，电流呈指数曲线下降，直到变成0。变化率(斜率)在开始时最大，此时电流最大。比率start text, R, end text, slash, start text, L, end text决定指数响应的陡度。

在t, is less than or equal to, 0时，电感器上的电压为0，当电流开始变化时，为t, equals, 0时电压急剧上升。峰值电压取决于启动电流start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript和电阻start text, R, end text(奇怪的是，不取决于电感器的值start text, L, end text)。电压沿类似的指数曲线下降，直到它消失到0。

把这些计算出来的图和我们之前画的图比较一下。草图的形状是对的。

电阻-电感组合的时间常数

指数必须是一个普通的数，不能有维数。这意味着商数start text, R, end text, slash, start text, L, end text的单位必须是1, slash, start text, 时, 间, end text，所以它可以抵消t。这意味着start text, L, end text, slash, start text, R, end text的单位是start text, 秒, end text。

start text, L, end text, slash, start text, R, end text称为电阻-电感器组合的时间常数。它具有与电阻电容电路中相应产品start text, R, end text, dot, start text, C, end text相同的属性。我们使用希腊字母tau (tau)作为时间常数的符号。对于电阻-电感对:

tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

电感器和电阻的时间常数随着电感的增大而变长，随着电阻的增大而变短(与start text, R, C, end text的时间常数相反。当电感器和电阻都增大时， start text, C, end text和start text, R, end text都会变长)。

使用tau，我们可以写出这样的自然响应方程:

$i(t) = \text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\tau}}}}$

当t等于时间常数时，e的指数变成minus, 1，指数项等于1, slash, e，或约0, point, 37。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。在1 时间常量通过之后，当前值将下降到初始值的37, percent。

[时间常数不是R乘以L。]

start text, R, L, end text 自然反应示例

让我们一起做一个例子。电路:

问题1

如果开关被关闭，start color #11accd, i, end color #11accd是什么?

i, equals

start text, m, A, end text

问题2

如果开关被关闭，start color #e07d10, v, end color #e07d10是什么?

v, equals

start text, V, end text

在t, equals, 0处打开开关。

问题3

开关打开后，电感器中的start color #11accd, i, end color #11accd是什么?

i, equals

start text, m, A, end text

问题 4

时间常数tau是多少?

tau, equals

start text, 秒, end text

在t, equals, 0之后为i, left parenthesis, t, right parenthesis和v, left parenthesis, t, right parenthesis编写表达式。

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, \_, \_, \_, \_, comma v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, \_, \_, \_, \_

[解释]

示例电路的自然响应如下:

总结

start text, R, L, end text电路的自然响应是指数级的:

$i(t) = \text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}}$

其中start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript是t, equals, 0时的当前值。

start text, R, L, end text电路的时间常数是tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction。

附录-求解可分离变量微分方程

提醒一下，start text, L, C, end text电路的微分方程为:

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0

下面是求解这个可分离变量微分方程的步骤。如果您在微积分学习中已经介绍了这种技术，那么您就可以同时解出start text, R, L, end text和start text, R, C, end text一阶微分方程，而无需猜测解。

$\begin{aligned} \text L \frac{di}{dt} &= -i\,\text R \\\\ \text L \frac{di}{i} &= -\text R \,dt \\\\ \int_0^{t} \text L \frac{di}{i} &= -\int_0^t \text R \,dt \\\\ \text L\,\big[\ln i(t) - \ln i(0)\big] &= -\text R\,t \\\\ \text L\,\ln(i(t)/\text I_0) &= -\text R\,t \\\\ \ln(i(t)/\text I_0) &= -\text R\,t/\text L \\\\ i(t)/\text I_0 &= e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}} \\\\ i(t) &= \text I_0\,e^{\displaystyle{\small{\raise{.6em}{\!-\text Rt}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text L}}}} \\ \end{aligned}$

这与我们在主要文章中通过猜测解决方案得出的结果相同。

Sal有一系列的视频展示了如何解这类可分离变量微分方程。

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初始条件

初始条件摘要

RL自然反应-直观的描述

中间会发生什么?

RL\text{RL}RLstart text, R, L, end text 自然响应的形式派生

为组件建模

为电路建模

解决电路问题

RL\text{RL}RLstart text, R, L, end text 自然响应如下所示

电阻-电感组合的时间常数

RL\text{RL}RLstart text, R, L, end text 自然反应示例

总结

附录-求解可分离变量微分方程

想加入讨论吗？

start text, R, L, end text 自然响应的形式派生

start text, R, L, end text 自然响应如下所示

start text, R, L, end text 自然反应示例