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课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应

RL自然响应

RL电路的自然响应。威利·麦卡利斯特著。

我们研究了电阻和电感电路的自然响应。这种讨论与RC电路的分析类似。

这个

RL

电路相当常见。它出现在任何时候，线圈涉及到电路，例如当你驱动一个机械继电器引起物理运动(继电器包含一个线圈用作电磁铁)。电感几乎存在于每一个电源和许多滤波器中。所有的电线和电路板都有一个小的自感，这在非常快的电路中是很重要的。

这是一个我们必须考虑时间的电路。要得到精确的理解需要从微积分的概念。我们使用导数来描述

RL

电路的行为。

我们要做的是什么

对于电阻电感电路，如果电感的初始电流为

I_{0}

，则电流将根据以下情况指数衰减:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

其中

I_{0}

是

t = 0

时的当前值。这叫做自然反应。

RL

电路的时间常数是

τ = \frac{L}{R}

。

时间常数是指数的陡度的量度。它的单位是秒。

电路的自然响应就是当没有外部影响(没有能量进入)时电路所做的事情。它是电路最基本的行为。当放置在更大的电路中时，自然反应在整体行为中起着至关重要的作用。

设置RL自然响应

为了让

RL

电路做一些事情，我们调用一个外部助手来添加一些能量，然后后退一步，让它独自运行，同时观察发生了什么。

在这个示意图的右边，我们有电感器

L

和电阻器

R

。这就是我们要研究的电路。在左边是我们的“外部助手”，由一个电流源、

I

、电阻

R 0

和一个处于关闭位置的开关组成。

假设开关已关闭很长时间，蓝色回路显示电流在该电路中的流动情况:

我们怎么知道所有的电流流过电感而没有电流流过任何一个电阻?电感方程告诉我们:

v = L \frac{d i}{d t}

源电流是恒定的，不会随时间而改变。

这意味着当前随时间的变化是

\frac{d i}{d t} = 0

。

如果我们把这个值放入电感方程，我们得到

v = L \cdot 0 = 0

。整个电感器(因此两个电阻)的电压为0美元。欧姆定律告诉我们，电压为

0

的电阻，电流为

0

。

当流过电感器的电流恒定时，我们说:电感器“看起来像”短路，因为它的端子上有

0

的电压，就像理想的导线一样。

初始条件

现在有一个电流流过电感器。我们在

t = 0

时打开开关，然后算出初始条件。

打开开关从

RL

部分断开辅助电路

(I, R 0)

。在帮助器端，当前的

I

开始流经

R 0

, (帮助器电路已经完成了它的工作，从现在开始我们将不再关注这部分)。在

RL

端，当前的

L

会立即翻转过来，开始流经

R

初始条件摘要

在开关打开之前，

t = 0^{-}

，电感器有一个电流，我们称之为

I_{0}

，在电感器和电阻之间有

0

电压。

稍后，在

t = 0^{+}

处，开关打开，当前

I_{0}

仍然在

L

中流动，现在在

R

中流动。

电感器中的电流不会，事实上，也不可能瞬间改变。所以开关打开后流过电感器的电流等于开关打开前的电流。

电感器中的电流使能量储存在周围的磁场中。这些能量不可能在零时间内消失或转移到其他地方。通过维持电感电流直到能量耗尽，能量逐渐回到电路中。

这种行为出现在电感方程中:

v = L \frac{d i}{d t}

如果电流瞬间改变，这意味着在零时间间隔内有一个有限的

i

的变化，所以电流的导数，

d i / d t

变成无穷大，这意味着电感上的电压是无穷大的。无限电压不会发生。

机械类比:储存在电感器中的磁场能量类似于储存在质量中的动量。如果你试图阻止一个移动的物体，它的动量不会立即消散。质量不会在一瞬间停止。我们说:动量趋向于维持质量的速度。在这个类比中，电压对应于推动质量的力，电流对应于质量的速度。

在过去的所有时间，直到

t = 0^{+}

，电感器中的电流为

I_{0}

RL自然反应-直观的描述

让我们推断一下接下来会发生什么。我们要算出

i

和

v

作为时间的函数。

我们在上面说过，

I_{0}

在开关打开后立即在电感器中流动。电压发生了什么变化?

电阻器中的电流从

0

跳到

I_{0}

，因此电压立即跳到

v (0^{+}) = I_{0} R

。

现在我们知道了开关打开后的电流和电压。接下来让我们想想，经过很长一段时间之后，这条电路最终会在哪里结束。

电阻(不像理想的电感或电容)以热能的形式耗散能量。热量来自于存储在电感磁场中的能量(我们的自然响应电路中唯一的能量来源)。如果我们等很长时间，所有从电感器中开始的能量最终都会被电阻转化为热。当所有的能量都消失时，

i

是

0

，

v

是

0

。这是电路的最终状态。

i (t)

和

v (t)

现在看起来像这样，最后的响应填充如下:

中间会发生什么?

现在我们填入从

t (0^{+})

到“很长一段时间以后”之间的时间间隔。现在，我要假设有一条平滑的连接曲线将曲线的两段连接起来。我猜变化率在开始的时候可能会更高，当电流很大的时候电阻器的功率耗散率也会更高。利用这种直觉，我可以画出电流和电压的预测曲线。

这对于

RL

电路的自然响应是一个很好的猜测。用我们的直觉，我们算出了开始和结束的状态，并估计了电流和电压在开始和结束之间的过渡是什么样的。我们不确定曲线下降的速度有多快，也不确定“一段很长的时间”到底有多长。

接下来，我们开发一个精确的解，这要求我们使用一些微积分。

$RL$ ‍ 自然响应的形式派生

我们希望导出

RL

自然响应、

i

和

v

作为时间的函数。推导过程与 RC自然响应相同。

我们假设在

L

中的初始电流为

I_{0}

。

为组件建模

这两个分量由它们特有的

i

v

方程来建模。

电阻由欧姆定律描述:

v_{R} = i R

电感器由电感器

i

v

方程描述:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

为电路建模

我们可以把基尔霍夫电压定律写在示意图的左上角逆时针旋转:

v_{L} + v_{R} = 0

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

这是对电路的微分方程建模。

从这里开始，我们将

v_{R}

称为

v

。

解决电路问题

上式为一阶常微分方程 (ODE)。

现在我们来看看ODE的解。一种方法是对解决方案进行有根据的猜测，并进行尝试。这就是我们要做的，正如我们在分析RC自然响应时所做的那样。

为了解微分方程，我们想出一个电流函数，把这个函数代入微分方程看看它是否成立。

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

(微分方程)

正如我们在

RC

电路中所做的那样，我们尝试了一个带有一些可调参数的指数函数，

K

和

s

。

i (t) = K e^{s t}

$t$ ‍是时间
$i (t)$ ‍是电流，作为时间
$K$ ‍的函数， $s$ ‍是常数，我们必须算出，
$K$ ‍是一个振幅项，可以将电流放大或缩小，
$s$ ‍必须有 $1 / t$ ‍的单位，所以我们得到一个无单位指数。

将我们提出的解代入微分方程，看看是否可行:

L \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + R (K e^{s t}) = 0

我们来计算第一项的导数:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

将导数代回微分方程:

s L K e^{s t} + R K e^{s t} = 0

现在我们可以提出普通的

K e^{s t}

项。

(s L + R) K e^{s t} = 0

这个方程描述了我们的特定电路，用提议的

i (t)

。

现在我们算出两个常数，

K

和

s

，看看能不能把方程变成真。

我们可以设置

K = 0

来得到一个解。但那很无聊。你什么也不投入，什么也得不到。

我们可以使

e^{s t} = 0

来得到另一个解。这也很无聊。如果我们把

s

设为负数，让

s

变成

+ \infty

，这意味着我们永远坐在那里，等待电流变为零。稍等一下。

使等式成立的第三种方法是设置

s L + R = 0

。这是有趣的。如果:

s = - \frac{R}{L}

这解决了

s

，并使我们的电流函数看起来像这样:

i (t) = K e^{- R t / L}

最后一步是求出

K

，振幅因子。我们用初值条件来做。在开关被翻转的瞬间，感应器有一个已知的电流。为了求

K

，我们把已知的

t = 0^{+}

。当前值是

i (0^{+}) = I_{0}

。

i (0) = I_{0} = K e^{- R \cdot 0 / L}

I_{0} = K e^{0}

K = I_{0}

全部完成!我们找到了一个函数和两个常数使微分方程成立。我们已经解出了开关打开后的所有时间的电流。

RL

电路自然响应的通解为:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

我们可以直接从欧姆定律得到电压

v (t)

v (t) = R \cdot i (t)

v (t) = R I_{0} e^{- R t / L}

$RL$ ‍ 自然响应如下所示

这些图显示了

RL

自然响应的形状。对于

t \leq 0

，当前值是

I_{0}

。在

t = 0

之后，电流呈指数曲线下降，直到变成

0

。变化率(斜率)在开始时最大，此时电流最大。比率

R / L

决定指数响应的陡度。

在

t \leq 0

时，电感器上的电压为

0

，当电流开始变化时，为

t = 0

时电压急剧上升。峰值电压取决于启动电流

I_{0}

和电阻

R

(奇怪的是，不取决于电感器的值

L

)。电压沿类似的指数曲线下降，直到它消失到

0

。

把这些计算出来的图和我们之前画的图比较一下。草图的形状是对的。

电阻-电感组合的时间常数

指数必须是一个普通的数，不能有维数。这意味着商数

R / L

的单位必须是

1 / 时间

，所以它可以抵消

t

。这意味着

L / R

的单位是

秒

。

L / R

称为电阻-电感器组合的时间常数。它具有与电阻电容电路中相应产品

R \cdot C

相同的属性。我们使用希腊字母

τ

(tau)作为时间常数的符号。对于电阻-电感对:

τ = \frac{L}{R}

电感器和电阻的时间常数随着电感的增大而变长，随着电阻的增大而变短(与

RC

的时间常数相反。当电感器和电阻都增大时，

C

和

R

都会变长)。

使用

τ

，我们可以写出这样的自然响应方程:

i (t) = I_{0} e^{- t / τ}

当

t

等于时间常数时，

e

的指数变成

- 1

，指数项等于

1 / e

，或约

0.37

。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。在

1

时间常量通过之后，当前值将下降到初始值的

37 %

。

$RL$ ‍ 自然反应示例

让我们一起做一个例子。电路:

问题1

如果开关被关闭， $i$ ‍是什么?

i =

mA

问题2

如果开关被关闭， $v$ ‍是什么?

v =

V

在

t = 0

处打开开关。

问题3

开关打开后，电感器中的 $i$ ‍是什么?

i =

mA

问题 4

时间常数 $τ$ ‍是多少?

τ =

秒

在 $t = 0$ ‍之后为 $i (t)$ ‍和 $v (t)$ ‍编写表达式。

i (t) =____,

v (t) =____

示例电路的自然响应如下:

总结

RL

电路的自然响应是指数级的:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

其中

I_{0}

是

t = 0

时的当前值。

RL

电路的时间常数是

τ = \frac{L}{R}

。

附录-求解可分离变量微分方程

提醒一下，

LC

电路的微分方程为:

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

下面是求解这个可分离变量微分方程的步骤。如果您在微积分学习中已经介绍了这种技术，那么您就可以同时解出

RL

和

RC

一阶微分方程，而无需猜测解。

$\begin{aligned} L \frac{d i}{d t} & = - i R \\ L \frac{d i}{i} & = - R d t \\ \int_{0}^{t} L \frac{d i}{i} & = - \int_{0}^{t} R d t \\ L [\ln i (t) - \ln i (0)] & = - R t \\ L \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t \\ \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t / L \\ i (t) / I_{0} & = e^{- R t / L} \\ i (t) & = I_{0} e^{- R t / L} \end{aligned}$ ‍

这与我们在主要文章中通过猜测解决方案得出的结果相同。

Sal有一系列的视频展示了如何解这类可分离变量微分方程。

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