远距离的重力势能复习

复习与远距离的重力势能相关的公式与技巧，包括如何对于绕着轨道运动的物体使用各种守恒定律。

方程

方程	符号	解释
$U_{G} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r}$ ‍	$U_{G}$ ‍是重力势能， $G$ ‍ 是万有引力常数， $m_{1}$ ‍ 和 $m_{2}$ ‍是质量， $r$ ‍ 两个物体质心之间的距离	远距离的重力势能与质量成正比，与它们之间的距离成反比，重力势能随着 $r$ ‍的增加而增加。

虽然地球绕太阳旋转，但它并不是沿着一个完美的圆，而是沿着一个椭圆的轨道运行（图1）。

这意味着地球与太阳之间的距离

r

在轨道上是不断变化的，太阳-行星系统上没有其他净外力或者力矩作用，唯一的力就是太阳和行星之间的万有引力。因此，角动量和能量不改变。然而，重力势能会改变，因为它取决于距离。因此，动能在轨道上也会发生变化，当行星靠近太阳，速度会变快。

当我们处理距离过长的重力势能时，我们通常把零势能点选在无穷远处

r

。这使得所有的重力势能为负。

事实证明，这样做是有意义的，因为当距离

r

变大时，引力很快趋向于零。当你接近一颗行星时，你就会被重力束缚在这颗行星上，并且需要大量的能量来逃逸。严格来说，你只有在

r

是无穷大的情况下才能逃逸，但是由于平方反比关系，我们可以取一个距离，在这个距离里重力势能无限接近于零。对于离开地球的航天器来说，这可能发生在距离地表

5 \cdot 10^{7} m

的高度，相当于地球直径的四倍。在那种高度下，重力加速度已经下降到地表值得

1 %

。

当我们把无穷远处选做零势能点，那么重力势能关于

r

的函数为：

U_{G} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r}

举个例子，想象我们在一个行星上着陆。随着我们越靠近行星，我们与它的径向距离越短。当

r

减小，我们就会失去重力势能——换句话说，

U_{G}

会变小。因为能量守恒，速率必定增加，从而导致动能增大。

学生会常常忽略，必须有两个分离的物体作为系统，才会有势能。一个物体本身不具有势能，只能对另一个物体具有势能。例如，月球只能相对于地球(或者其他物体)才有重力势能。
有时候人们会忘记在远距离处的重力位是负数。我们通常把无穷远处 $r$ ‍选定为零势能点，这使得重力势能所有值都是负值。

对这些概念更深入的解释，请观看我们关于远距离重力势能的视频.

为了检验你对课程的理解以及对这些概念的掌握，请查看我们的练习：

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