主要内容

课程: 代数2 > 单元 8

课程 3: 对数的特性

对数属性简介

学习对数的属性以及如何使用它们来改写对数表达式。例如，展开 log₂(3a).


乘积法则	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
除法法则	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
幂法则	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(当对数均已被定义时，

M

N > 0

，且

0 < b \neq 1

，无论

M

N

, 以及

b

为任何值，这些法则均适用.)

学习这节课之前你应该熟悉的概念

你应该知道什么是对数.如果你不知道，请看一下我们的对数简介.

本课内容

对数，就像指数，有许多有用的可以用来简化对数表达式以及解对数方程的属性. 本文就要探索这些属性中的三种.

让我们把每个定律都看一下.

乘积法则: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

该属性说明了一个乘积的对数是其各因数的对数的和.

没问题！如果

M = 4

N = 8

且

b = 2

，那么根据该法则，

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

看下面的解答过程，在该例子下，这个法则确实没错！

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & 因为 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & 求各个对数 \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

这绝不能证明该法则！然而，它或许可以使我们相信该法则是可行的，也或许给我们一些了解该法则为何为真.

我们可以用该乘积法则来改写对数表达式.

示例：用乘积法则展开对数

在这类题目里，展开一个对数意味着将它写成两个或两个以上对数的和。

让我们展开

\log_{6} (5 y)

可以看到，对数里的两个因数是

5

和

y

。我们可以直接应用乘积法则来展开该对数。

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & 乘法法则 \end{aligned}

示例：用乘积法则缩写对数

在这类题目里，缩写两个或两个以上对数的和意味着改写为单个对数表达式.

让我们缩写

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

因为这两个对数有相同的底数（底数为

3

），因此我们可以逆向使用乘积法则：

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & 乘法法则 \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

注意

当我们用乘积法则缩写指数表达式时，所有对数表达式的底数必须相同.

例如，我们不能使用乘积法则来缩写类似

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

的表达式。

看看你的知识掌握地如何

1)展开 $\log_{2} (3 a)$ ‍。

2)缩写 $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍。

除法法则： $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

该法则表示，一个商的对数等于被除数的对数以及除数的对数的差。

没问题！如果

M = 81

N = 3

且

b = 3

，那么根据该法则，

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

看下面的解答过程，在该例子下，这个法则确实没错！

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & 因为 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & 求解各个对数 \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

这绝不能证明该法则！然而，它或许可以使我们相信该法则是可行的，也或许给我们一些了解该法则为何为真.

现在让我们应用除法法则来改写对数表达式.

示例：用商法则展开对数

让我们展开

\log_{7} (\frac{a}{2})

，即通过应用除法法则，将其改写为两个对数的差.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & 除法法则 \end{aligned}

示例：用商法则缩写对数

让我们缩写

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

由于两个对数有相同的底数（底数

4

），因此我们可以逆向应用除法法则.

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & 除法法则 \end{aligned}

注意

当我们使用除法法则缩写对数表达式时，所有对数的底数必须相同.

例如，我们不能使用除法法则来缩写类似

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

的表达式.

看看你的知识掌握地如何

3)展开 $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4)缩写 $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

幂法则: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

该属性表示，幂的对数等于指数乘以幂的底数的对数。

没问题！如果

M = 4

，

p = 2

，且

b = 4

，那么根据该属性，

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

看下面的解答过程，在该例子下，这个法则确实没错！

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & 因为 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & 求解各对数 \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

这绝不能证明该法则！然而，它或许可以使我们相信该法则是可行的，也或许给我们一些了解该法则为何为真.

现在让我们来使用幂规律来改写表达式.

示例：用幂法则展开对数

在这章节里，展开单个对数表达式意味着将它改写为多个其他的对数表达式。

让我们使用幂规律来展开

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & 幂规律 \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

示例：用幂法则缩写对数

在这章节里，缩写对数的倍数意味着将其写为另一个单个对数。

让我们使用幂规律来缩写

4 \log_{5} (2)

，

当我们使用幂规律来缩写一个对数表达式时，我们应该将任何乘数变为幂.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & 幂规律 \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

看看你的知识掌握地如何

5) 展开 $\log_{7} (x^{5})$ ‍.

6) 缩写 $6 \ln (y)$ ‍.

挑战题

你会在每一题应用几种不同的对数属性来解决下列问题. 试试吧！

7) 下列哪个表达式与 $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍等值？

8) 下列哪个表达式与 $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍等值？

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代数2

课程: 代数2 > 单元 8

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

乘积法则: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

示例：用乘积法则展开对数

示例：用乘积法则缩写对数

注意

看看你的知识掌握地如何

除法法则：logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

示例：用商法则展开对数

示例：用商法则缩写对数

注意

看看你的知识掌握地如何

幂法则: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

示例：用幂法则展开对数

示例：用幂法则缩写对数

看看你的知识掌握地如何

挑战题

想加入讨论吗？

乘积法则: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

除法法则： $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

幂法则: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍