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指数与二次模型的增长模型的比较

萨尔讲了两个表示汽车装运率模型的函数。其中一个是二次的,另一个是指数的。哪一个会超过另一个的值?. Sal Khan 创建

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有一个汽车公司Cozy 出口新车分别到日本和越南 在未来 t 月里出口到日本的汽车数量 是由以下的函数值来决定 函数 j(t) 等于 2 的 t 次方 而出口到越南的汽车数量 在未来的 t 月里是由另一个函数值确定 函数 v(t) 等于 2 乘以 t 的平方 那么哪个国家可以得到更多的汽车呢 我们来看5个月以后的情况 也就是5个月以后两个国家分别得到多少汽车 先来看看日本在5个月以后可以得到多少汽车 t是代表月份 所以函数 j(t) 是等于 2 的 5 次方 就等于2 x 2 x 2 x 2 x 2 我们来算算 2乘2等于4,再继续乘等于8,16,最后得32 日本会得到32台车 越南的情况呢 所以 v(5) 就等于 2 乘以 5 的平方 那就是2乘以25等于50 基于以上2个模型 测算未来t月里2个国家分别要得到多少汽车 那么在5月之后 越南要得到更多的车 所以答案是越南 越南在5个月后可以得到更多的车 那么哪个国家可以得到更多的车 从Cozy汽车公司 但这次的问题是变成了7个月之后 那么我们再来算一下 j(7)等于2的7次方 我们来看看 2的6次方就等于32乘以... 我们可以这样算,2的5次方乘以2再乘2 那么就等于 32乘以4 等于128,那么7个月后日本得到128台车 而越南的情况是 v(7)等于2乘以7的平方 也就是2乘以49 其结果是98台车 那么7个月之后,日本会得到更多的车 日本 日本在7个月之后可以得到更多的车 这个结果很有意思 我们看到指数型的函数 注意到当 t 出现在指数的位置时 虽然在开始的时候可能会有一点慢 比起这个二次函数方程 某式的平方 指数型会开始得慢些 在第5月之后,指数型模式的结果显示会得到 比二次函数型模式的汽车数量少 但是,之后会远远赶超 它会以越来越快的速度增长 之后只到了7月份,它就超过了 二次函数所得出的结果 那么哪个国家 从Cozy公司得到的汽车更多呢 这个国家得到更多的汽车 从7月份之后 就会继续比另一个国家得到更多的汽车 未来的月份情况呢 当然,这是绝对的 一旦指数型函数 超越了二次函数 就会变得越来越快 就会以越来越快的速度增长 您可以看到如果我们想比较8个月之后的情况 先看 j(8) 指数函数 等于 2 的 8 次方 也就是这个再乘以 2 得到 256 台车 而 v(8) 等于 2 乘以 8的平方 等于 2 乘以 64,就得到 128 注意我们现在出口到日本的车已经是 出口到越南的 2 倍了 这个情况和这之前的不同 我们出口到日本的车多于到越南的 但是却没有2倍那么多 我们可以再往下做 如果您想做的话,我们可以再试试做 j(9) j(9) 等于 2 的 9 次方 那就是等于 256 乘以 2 或者就是 512 台车子 而 v(9) 等于 2 乘以 9 的平方 也就是 2 乘以 81 等于 162 现在差距更大了,远远超过2倍了 实际上已经超过了3倍 所以您可以看到,一旦过了那几个初始月份 指数型函数的增长 是以非常快的速度在增长 我们可以将这个结论可视化 我们现在来拿图形计算器做一下 将这2个函数展现出来看看是怎么一回事 我们来作图 我们先来做指数型函数 我们来看 2 的 x 次方 我们假设 x 是一个独立变量 所以就是2的 x 次方 我们再来看二次方函数 我们表示为 y(2), 尽管我们将要表达为 v(2) 然后是 2 乘以 2 乘以 x 的平方 现在我来设定区间 我们把区间设定在这里 我们现在来看 假设 x 从 0 开始 然后从 0 增长到 10 就增长到 10 x 的比例可以为 1 x 的比例为 1 那么 y 的最小值,让我设为从0开始 那么 y 最大值,设定为1000 然后y的比例设定为100,最大到1000 y 的比例为100 好了,我们现在可以准备画图了 我们画出来 看看情况怎么样 它正在计算着 在这里,我们看到指数型函数 然后在这边 您可以看到2次方函数 实际上,我可以把它放大一点来看 我们可以看得更清楚它们是怎么回事 或者,我可以把这里再放大一点 我做在一个框里能让我们真正能够看到 看到在哪里 或者说看到它们在哪里相遇并往后发展 我就从这里开始 我来做一个小框 我们来看 喔 在电脑上用显示这个计算器有点奇怪 但是您可以看到,您一定能看到 即使我们已经做过图了 这个指数型函数就这样一下子开始迅速增长 而2次方函数才刚刚开始... 当然,它尽管也是按照一个不错的速度在增长 但是没有那么快 随着时间的增长 让我确保它开始的时候越低越好 然后我们在这个基础上绘制图表 现在来看 这边是指数型函数 这是 2 的 t 次方 那这一边是2次方函数 您可以看到,您一定可以看到 实际上 您一定可以看到,在最初的阶段 2次方函数有着较高的值 您可以看到这里的结果 5个月的时候,我们出口到越南的车子多些 之后指数型函数穿过它往上 而且一直保持越来越快的速度 以越来越快的速度增长