洛必达法则（复合指数函数）

在这个视频里我要讨论的是一个 我觉得比较有意思 的极限问题 假设我们要计算当x从正方向 接近0的时候 sinx 这是有趣的地方 sinx的x自然对数 分之一次方 希望你先暂停视频 看看你能不能算出来 在提前知道这是一个 比较复杂的问题的情况下 我当你已经尝试过了 可能有些人第一次 就算出来了 我第一次 遇见这样的题目时 我没有一次过 所以不要担心 如果你没有一次过 可能大部分人的想法 是这样 我们先看每一个部分 如果我要计算 当x从正方向接近0的时候 sinx的极限的话 这很直接 这是0 所以你想的是 这一部分接近0，但之后 你看 当x从正方向接近0 的时候，x的自然对数 分之一的极限 这也是为什么我们要 从正方向来看 因为从负方向 接近是没意义的 没法求负数的 自然对数 这不在自然对数的定义域里 但是当你从正方向 越来越接近0的时候 这些自然对数的值 e的负次幂 会越来越大 这一部分会接近 负无穷 这里接近负无穷 负无穷分之一 1除以一个很大 很大的负数 这部分接近0 然后你可以说 这部分 也等于0 这没什么用 因为假如这个趋近0 这个也趋近0 这好像是在暗示 这等于0的0次方 但是我们不知道这是什么 让我换个颜色 0的 0次方 这是数学有趣的地方了 我们可以说这是0 也可以说这是1 我们不知道这是什么 这不是一个让人满意的答案 这时候你 脑子里可能想起来 我们之前学习过 洛必达法则 如果你还不知道 那建议你去看 洛必达法则的介绍视频 在洛必达法则里 洛必达法则 可以在这种情况里有用 当我们尝试简单地计算这个极限时 我们得到了无法下定论的结果 比如0除以0 或者无穷除以无穷 负无穷除以负无穷 在那个视频里我们深入了解了 这看着 这是0的0次方 我们好像是遇到了一个需要 召唤洛必达法则的情况了 等下我们会看到 这个洛必达法则 的想法确实不错 但是你不能直接用 在这里 洛必达法则没法直接用在 0的0次方的形式上 但是我们可以建立一个 可以用洛必达法则的情况 然后用那个情况来 计算这个 这就是这道题巧妙的地方 什么意思呢？ 假如我们 令y等于 这么写好了 如果我们令y y是一个关于 x的函数 假如说y(x)是sinx sinx的x自然对数 分之一次方 这里说的就是 当x从正方向接近0的 时候y的极限 然后我们不知道这是什么 可能是0的0次方 但我们不知道0的0次方是什么 我们可以做的是 用一个在这些包含 各种奇怪指数的极限或者 导数常见的技巧 你会发现在两边 同时求自然对数会很有效 你在两边求自然 对数会怎么样？ 左手边 y的 自然对数，每次我想到 自然对数我就莫名 想用绿色 y的自然对数 等于 这个的自然对数 这里我不想跳过 因为这很有意思 这等于所有这部分 的自然对数 让我这么写 sinx 这里我想用橙色 sinx的x自然对数 分之一次方 的自然对数 我们通过对数的性质 知道 某个东西的一个指数的 对数，等于这个指数 也就是x的自然对数分之一 乘上这个对数，这里是 sinx的自然对数 sinx 或者说y的自然对数 还得保持 颜色统一 y的自然对数等于 如果我们这么写的话 等于，sinx的 自然对数 sinx的 自然对数 除以x的自然对数 这很有意思 但这有什么用呢？ 为何要如此操作？ 这里我们先不考虑 当x从正方向接近0时 y的极限 而是考虑y的自然对数 在同一情况下 当x从正方向接近0的时候 我们来计算这个表达式的极限 当x从正方向接近0 的时候 y的自然对数是什么？ 这整个是什么 y的自然对数接近什么？ 我们考虑一下这个情况 让我用一个新的颜色 我们想要计算 当x从正方向接近0的时候 这部分的极限 sinx的 自然对数 除以x的自然对数 第一次我用了正体 然后有用了手写体 这里我保持一致 这为什么有趣呢？ 我们看看分子 这个接近0 0的自然对数，会接近 负无穷 这是x的自然对数 当你从正方向接近的时候 同样接近负无穷 这里我们得到了 得到了 负无穷 除以负无穷 这告诉我们 这里可以使用洛必达法则 我们可以说这等于 当x从正方向 接近0的时候 让我再来点空间 来计算 我可以求分子 和分母的导数 分子的导数 分子的导数 这里用链式法则 sinx的导数是cosx 然后 sinx的自然对数相对于 sinx的导数等于sinx分之一 所以除以sinx 这是分子的导数 然后分母的导数 这是x分之一 x分之一 这等于 当x从正方向 接近0的时候的极限 cosx cosx 看看 除以x 除以x，等于 x除以sinx sinx分之x 当我尝试计算这个 极限的时候 这是个0 然后我们又得到了0分之0 这还不算完 这里是极限的性质 有用的时候了 估计你发现了这不是一个 简单的题 但这等于 这里要能看出一点规律 这等于 我们知道两个函数乘积 的极限 等于它们的极限的乘积 这等于 当x从正方向 接近0的时候 先看这部分 让我换个颜色 这部分 用错颜色了 我们看这部分 这等于sinx分之x 然后乘这个极限 让我加上括号 乘 乘 当x从正方向接近0的时候 cosx cosx的极限 现在这部分 很直接了 你可以直接代入0 得到1 这部分等于1 那这部分呢？ 你可能想起来了 当你计算当x接近0的时候 x分之sinx的极限 这是那个的倒数 这是sinx分之x 但是当你尝试简单计算时 你会得到0分之0，所以你 可以用洛必达法则 同样这也是个 有趣的情况 这等于当 当x从正方向接近0的时候 上面的导数是1 下面的导数是cosx 这就是1除以 cos0等于1 所以是1 我们再次使用了洛必达法则 来得到这个等于1 1乘1等于1 所以这部分等于1 这部分 这部分等于 这部分接近1 所以这部分是接近1 现在我们得到了什么？ 这里我直接写出来 我们知道y的自然对数 的极限 当x从正方向接近0的时候 y的自然对数的极限 等于1 如果y的自然对数接近1 那y接近什么？ 这里我们还是得 提前知道一些东西 我们知道这是1 这是y的自然对数 我们知道 当x从正方向接近0的时候 这等于1，这等于 当x从正方向接近0的时候 y的自然对数的极限 这两个相等，都等于1 y的自然对数接近1 如果y的自然对数 接近1 y的自然对数接近1 y必须接近什么？ 某个数的自然对数 等于1，那y必须接近e 因为e的自然对数是1 y必须趋近e 然后我们就做完了，因为这是题目问的 我们想知道y 我们定义这个为y 我们想知道当x从正方向接近0的时候 y趋近于什么？ 我们求得了y的自然对数 当x从正方向接近0的时候 接近1 这表示y必须接近e 这告诉我们 这部分 等于e 可能信息量有点大 这里出现了e 还有sinx 和x的自然对数 你应该准备好看见e了 我觉得这是一个很有意思的问题