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可分离微分方程
变量分离是一种解微分方程的常见方法。 了解这是如何做到的以及为什么它叫这个名字。
分离变量法 是解微分方程的一个非常常见的方法。让我们试试用这个方法来解 :
让我们回顾一下这个解法:
在第 至第 行中,我们改写了等式,使得其变为如下形式: 。换句话说,我们将 与 拆分开了,这样每个变量就都分别在等式的一边了。当然也包括组成了微分方程 的 与 。这就是为什么这种方法被称为 “分离变量法”。
在第 行中,我们对两边都进行了不定积分。与方程式一样,其基本原则为,如果 等于 ,那么它们的不定积分也一定相等。
在第 行和第 行中,我们在左右两边分别对 、 做了积分,并将 提取了出来。
我们只在右侧加上了一个常量 。而将两边都加上一个常量是不必要的,因为我们可以将其中一个常量移动到另一侧,并最终得到一个常量。
总结下来, 的解为 。你可以对 进行微分来验证这个解。
让我们再看一下方程的解。想想分离变量法是如何让我们在第 行至第 行中得到一个不包含导数的等式的。