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主要内容

可分离微分方程

变量分离是一种解微分方程的常见方法。 了解这是如何做到的以及为什么它叫这个名字。
分离变量法 是解微分方程的一个非常常见的方法。让我们试试用这个方法来解dydx=2x3y2
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2x两边同乘 3y2(3)3y2dy=2xdx两边同乘 dx(4)3y2dy=2xdx进行积分 (5)y3=x2+C计算积分 (6)y=Ax2+C3提出 y

让我们回顾一下这个解法:

在第 (1) 至第 (3) 行中,我们改写了等式,使得其变为如下形式:f(y)dy=g(x)dx。换句话说,我们将 xy 拆分开了,这样每个变量就都分别在等式的一边了。当然也包括组成了微分方程 dydxdxdy 。这就是为什么这种方法被称为 “分离变量法”。
在第 (4) 行中,我们对两边都进行了不定积分。与方程式一样,其基本原则为,如果 f(y)dy 等于 g(x)dx,那么它们的不定积分也一定相等。
在第 (5) 行和第 (6) 行中,我们在左右两边分别对 yx 做了积分,并将 y 提取了出来。
我们只在右侧加上了一个常量 C 。而将两边都加上一个常量是不必要的,因为我们可以将其中一个常量移动到另一侧,并最终得到一个常量。
总结下来,dydx=2x3y2 的解为 y=Ax2+C3。你可以对 y 进行微分来验证这个解。
让我们再看一下方程的解。想想分离变量法是如何让我们在第 (1) 行至第 (3) 行中得到一个不包含导数的等式的。
问题 1.A
问题1将带你了解解出下列微分方程的过程:
dydx=exy2
方程在使用分离变量法之后变成什么样了?
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