在数学中涂鸦: 无限大象

如果你是我 并且你又坐在数学课上 因为他们逼着你每天都这么干 你在学 假设 无穷数列求和 这个在高中教学大纲里吧 很奇怪的是 尽管这是个引人入胜的话题 老师们总有办法把它教得跟催眠曲一般 我猜这就是为什么他们把无穷数列放到教纲里的原因 所以 我知道你需要开会儿小差 你一边涂鸦一边想 数列的复数形式应该是什么 而不是数列究竟是个什么玩意 数列列 数数列 数列数或数列数列 抑或数列是个不规则复数？ 一个数 数序 或者数组？ 就像sheep(绵羊)的单数应该是shoop 话虽如此 但是1/2 +1/4 +1/8 +1/16 一直加结果趋近1这个概念 在你想画一排大象时是很用得着的 每头大象都咬着前一头大象的尾巴 大象 小象 宝宝象 狗狗象 迷你象 一直到象牙先生 并且还能更小 这还是"小"有成就感的 因为你能在一条直线上画出无穷多头大象 并且让它们横穿整个笔记本页面 但是问题是 如果你准备画骆驼 因为它比大象小 只能占据1/3的页面 下一个骆驼应该画多大 才能合理地占据一整页？ 你当然可以用算的 这本身就是个奇迹 但是我对于强算不感兴趣 所以让我们重新审视一下我们的骆驼 这是一个分形（fractal） 你先画一个圆 在一个圆里 继续画剩下空间里能装下的 最大的圆 这被称为"阿波罗垫片"(Apollonian Gasket) 当然你可以用一套不同的起始圆形 奇迹依然发生 对于某些圈内人来说 这并不让人惊讶 因为圆的相对曲率 有一些有趣的性质 简洁 酷 并给我们创造了许多带劲的涂鸦游戏 第一步 画任意图形 第二步 在图形内部画最大的圆 第三步 在剩下的空间里 画尽可能大的圆 第四步 参见第三步 只要画圆后还有空剩下 这意味着别从圆开始 这种方法能把任何一种图形 你可以用三角形 你可以用星形 你可以从大象开始或者蛇 或者你的一个朋友 我选择亚布拉罕·林肯 酷！ 可以用其他图形 比如，用等边三角形 来填另一个三角形 这能行 因为填充三角形 是和外面的三角形 对头排的 （方向很重要） 于是就完成了“谢尔宾斯基三角形”(Sierpinski's Tirangle) 当然 你可以用一美分（印有亚布拉罕·林肯的头像）来做 但是三角形似乎 在这个例子中也成 但是这是个特殊例子 三角形的问题是 它们并不总是填地天衣无缝 比如在这个不规则的水滴里 最大的等边三角形有一个角悬空了 当然 千万别因此 扫了你涂鸦的雅兴 但是我觉得这跟画圆的游戏相比 就美中不足了 抑或 假设你可以改变 以便得到（填满图形的）最大三角形？ 如果你不必拘泥于等边三角形又会如何？ 其实 对于任何多边形 这个游戏是玩不长的 这糟透了 而对于带弧度的复杂图形 （填充）过程本身的难度大大增加 你怎么才能找到最大的三角形？ 哪个三角形比较大 特别是当你处理不规则图形时 这就变成了一个有意思的问题 因为唯一的正确答案是存在的 但是如果你要为此编写一个电脑程序来用一个图形 填满另一个给定图形 按照一个更为简单的逻辑 你可能依然需要学习一些计算几何学 我确定你可以超越 三角形 四边形 甚至大象形 但是圆是最棒的 因为它是如此圆满无缺 哦 对了 扯开去做个小的涂鸦测试 三点定圆 因此随便画三个点 然后去找到三点所定之圆 回到正题 画圆游戏让我着迷的一点是 一个像这样的“角落”时 你知道总可以画出 无穷多的圆向尖角延伸 更有意思的是 这一列上的每个圆 都会创造出一些新的“角落”需要 需要一列新的无穷多圆去填充 循环往复无绝期 你刚刚已经创造了为数可观的圆 并且还在产生新的圆 你大概已经发现无穷可以有多密集 但是 真正让人吃惊的是 这种无限 是最小可数的无限 还有许多无限 大得匪夷所思 等等 有意思的来了 如果你把这段长称之为“任意单位长度” 那么 这段 加上这段 等等 是一个趋近于1的无穷数列 这个序列虽然和上个不同 但是其和也趋近于1 这个也是 还有这个 只要外轮廓是规则的 其序列和都接近于1 不过如果你只想要个简单的序列 其中每个圆的直径是 之前一个圆直径的几分之一 你将会得到一条直线 如果你知道直线的斜率是如何定义的 这很管用 因为它揭示了一个巧妙的 数学的法子和涂鸦的方法来解决我们的骆驼问题 而不需任何计算 如果不画骆驼而是画圆 我们可以作出正确的无穷序列 仅仅画一个 和页面等长的锐角 并把它填满 用骆驼替代圆 成功！ 一个无穷长的撒哈拉驼队 消失在远方 不用任何数字哦！ 最后 我有无穷多的信息 想在最后一句话里和你们分享 这也许能填满接下来的五秒钟 如果我以两倍速说这句话 再用两倍数说这句话 再。。。