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课程: 多变量微积分 > 单元 4

课程 10: 曲面积分（文章）

曲面积分

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你要如何将和曲面上的点相关的无限多的无限小数量相加？

背景知识

不严格要求, 但可以用做类比:

线积分

我们要做什么

原则上，面积分和二重积分是一样的，除了将二维平面的点相加，我们将一个空间面上的点相加。这个平面很有可能是曲面。面积分的抽象表示法看起来很像二重积分。

$\begin{array}{r} \underset{S 代表一个面}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{S 上的一小部分}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

计算曲面积分几乎与使用二重积分计算表面积相同，只不过是往积分里放了个函数：

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) \underset{面面积的一小部分}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s}} \end{array}$ ‍

由上可见，

\vec{v} (t, s)

是根据

t s

- 的平面区域

T

参数化出来表示

S

的方程。

（这类似于计算线积分就如同计算弧长积分，只不过是往积分里放了个函数。)

你可以在下一篇文章里找到其中一个积分的例子。

曲面积分的概念

如果你理解二重积分，也理解如何计算参数化曲面的表面积，你就能理解曲面积分。只是把这两个概念结合在一起。我等下会给出一个计算面积分的例子，但首先，我认为让你知道面积分的用途更重要。

复习二重积分

回想一下二重积分的作用：

$\begin{array}{r} \iint_{R} f (x, y) d A \end{array}$ ‍

这里,

R

代表

x y

-平面的某个区域, 而

f (x, y)

是将

R

上每个点和一个数字联系起来的方式。

也许 $R$ ‍ 代表一块金属板, 而 $f (x, y)$ ‍ 代表每个点处的密度。
又或许 $R$ ‍ 代表一个地理区域, 而 $f (x, y)$ ‍ 代表每个点的温度。

二重积分提供了一种将区间内

f

的值相加的方式。然而，将连续区间的点“相加”的概念很抽象，所以我喜欢去想象下面的过程：

将区域 $R$ ‍ 切成若干小块。
将每块的面积，也就是 $d A$ ‍, 乘以 $f$ ‍ 在这块部分上一个点的值。
将结果相加。

例如,

如果 $R$ ‍ 代表金属板, 而 $f (x, y)$ ‍ 代表密度, 二重积分的结果是质量。 (为什么?)
如果 $R$ ‍ 代表地理区域, 而 $f (x, y)$ ‍ 代表每个点处的温度，求二重积分再除以面积 $R$ ‍ 会给你该区域的平均温度。 (为什么?)

对于曲面求二重积分

但是，为什么要保持平面呢？将连续二维曲面上的点相加也是可以的。

如果你遇到一个密度非常量的飞机曲面，怎么求总质量呢？
如果你知道地球曲面上每一个点的温度，如何求平均温度呢？

这次，方程

f

，代表密度、温度，等等。必须考虑三维空间的点因为曲面是存在于3D空间的。对于含有三个变量的方程

f (x, y, z)

在曲面上的积分的抽象表达法与二重积分是基本一样的：

$\begin{array}{r} \underset{S 代表一个面}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{S 上的一小部分}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

(不同的作者可能使用不同的表示法)。

这被称为 曲面积分。在二重积分下的小符号

S

代表曲面, 而

d Σ

代表曲面上的一小部分。你可以用思考二重积分的方式思考曲面积分：

将曲面 $R$ ‍ 切成若干小块。
将每个小部分的面积乘以函数 $f$ ‍ 在该小块中的一个点上的值。
将这些值相加。

为什么要写

d Σ

而不是

d A

？没有真正的区别;每一个都代表了你正在集成的一小部分区域。然而, 到了计算的时候, 曲面和在平面处理的方法有根本的不同, 因此值得通过使用不同的变量来强调这种差异。

如何计算曲面积分

抽象表示法和切割飞机机翼都是很好的，但如何真的计算一个曲面积分呢？小技巧就是悄悄转换成普通的，平面的，二重积分。

具体而言，通常表示曲面的办法是用一个参数方程。你会有一个向量值函数

\vec{v} (t, s)

。输入所有二维

t s

-平面的点(可爱的平面上的点)，它会输出三维空间的点。你需要指定

t s

-平面上的区域

T

。

因此，求曲面积分的诀窍是，找到一个平面区域

T

上的积分，使它得到的值与曲面

S

上的积分相同。这需要将

S

上的“小块面积”里的参数用某种东西表示。

几乎所有工作都已经在表面积里给出。在那里，我们看到了

T

上面积为

d t d s

的小长方形是如何变成

S

上面积为

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

的平行四边形的。

因为我们要求曲面积分，所以需要将

d Σ

扩展成下面这样：

$d Σ = | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

具体言之，这是用参数空间代表曲面积分的方式：

$\iint_{S} f (x, y, z) d Σ = \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

让我们分解一下：

$\begin{array}{r} \underset{曲面积分}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{S 上一块的面积}{\overset{⏞}{d Σ}} = \underset{\begin{array}{c} 参数空间 \\ 的积分 \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{T}}} \overset{\begin{array}{c} 看每一个点 (t, s) \\ 落在 S 上的位置, \\ 然后求 f \end{array}}{\overset{⏞}{f (\vec{v} (t, s))}} \underset{\begin{array}{c} T上每一小块有多少 \\ 在通过 \vec{v} 转换成 S 后 \\ 被改变了 \end{array}}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} \overset{\begin{array}{c} T 上一小块 \\ 的面积 \end{array}}{\overset{⏞}{d t d s}} \end{array}$ ‍

最重要的是，也是让计算变的很累人的是，如何转化

d Σ

。

下一篇文章里，你可以看一个完整的曲面积分的例子。

总结

任何时候你觉得需要将曲面上的点相加，就可以使用曲面积分。和二维线积分基本类似。同样的，你可以认为是一种将二重积分推广到曲面积分的方式。

$\begin{array}{r} \underset{S 代表一个面}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{S 上的一小部分}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

计算曲面积分几乎与使用二重积分计算表面积相同, 只是在对于函数积分:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍

就像多变量微积分中的其他东西一样, 虽然曲面积分背后的理论是美好的, 但实际计算是痛苦的。

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