线积分示例 2 (第2部分)

在上个视频中，我们尝试计算 这个奇怪建筑的墙面表面积， 其中天花板，也就是上表面，由 f(x,y) 定义， 它等于 x 加 y平方。 然后建筑的地基，或者说墙壁的轮廓 则是一个半径为 2 的弧， 加上 y 轴的一部分，之后向左 再加上 x 轴的一部分，这就是我们的建筑物。 上个视频中， 我们计算了第一面墙的表面积。 但实际上题目要我们做的是 计算出沿着这条环路的曲线积分， 是一个环路积分， 沿着环路 c 对函数 f(x,y) 进行曲线积分 通常写成 f(x,y) 乘以曲线上的小线元 ds。 我们尽量用最标准的写法。 从上个视频中我们知道， 最简单的办法就是将整个环路分解为多个线段， 多个曲线来解。 这整个墙体轮廓， 整条曲线我们称为 c， 由上个视频，这段称为 c1， 这一段呢，我做个记号，称为 c2， 现在指的为 c3。 我们把这个曲线积分重新定义，或者叫分解了， 将封闭曲线积分拆成三段不封闭的曲线积分。 它等于沿着路径 c1 的曲线积分 f(x,y) ds， 加上沿着路径 c2 的曲线积分 f(x,y) ds， 再加上，你可能猜到了， 沿着路径 c3 的曲线积分 f(x,y) ds 上个视频中， 我们算出了第一部分，这段弧形墙。 它的表面积是 4+2π。 现在我们要计算剩下的两部分。 好，我们开始计算 c2，计算这个曲线积分。 计算它之前， 还要对 x 和 y 进行不同的参数化， 跟上一回的参数化不同， 因为这不是弧线， 我们是沿着 y 轴积分， 只要在 y 轴上， x 就一直是 0。 我们这样来参数化，x=0 在 y 轴上，x 永远等于 0。 接下来参数化 y，我们从 y 等于 2 开始， 也许我们可以说 y 等于 2 减 t， t 大于等于 0，小于等于 2 这应该没问题。 当 t 等于 0，我们在这个点， 而当 t 向着 2 增大时， 我们沿 y 轴向下移动，直到 t=2， 然后就到了这个点。 参数没问题。 让我们来计算这条线， 我们可以先计算导数， 这个导数是什么呢？ 我写下来，dx/dt 是什么呢？ 很简单， 0 的导数是 0。 dy/dt 等于它的导数， 也就是 -1，对吧？ 2 减 t 的导数，就是 -t 的导数，就是 -1。 我们先分开写， 我们现在计算的是这个部分， 也就是沿着 c2 的曲线积分。 这里是 c2，我先这么写， 然后我们说，从 t 等于 0 到 2， 里面是 f(x,y) f(x,y) 就是它，x 加 y 平方， 然后乘上ds。 从前几个视频中我们知道， ds 可以表示为根号下 dx/dt 平方，也就是 0 的平方， 加上 dy/dt 的平方，也就是负 1 平方，也就是正 1， 再整体乘以 dt。 非常的简单漂亮。 这里是 0 加 1，还有根号，这就是 1， 然后 x 是什么？ x，按照之前的参数化， x 一直等于 0， y 的平方就等于 2 减 t 的平方。 所以这是 2 减 t 的平方。 整个这个疯狂的式子就被简化成， 积分区间为从 t 等于 0 到 t 等于 2， 参数化时，x 就消失了，x 一直是 0，跟参数 t 无关， 然后是 y 的平方，y 就是 2 减 t， 所以是 2 减 t 的平方， 最后是 dt。 很简单。 我觉得整体求反导数更简单， 你可以直接心算， 不过我喜欢把二项式乘开。 所以它等于积分 从 t 等于 0 到 t 等于 2，4 减 4t 加 t 平方 乘上 dt。 还是很简单的。 它就等于，它的反导数就等于 4t 减 2t 平方 4t 减 2t 平方，对吗？ 求导的话，2 乘上 -2 就是 -4t， 然后就加上1/3 t 立方，对吧？ 这些是简单的反导数， 然后我们要的是从 0 到 2 的取值， 好，我们先代入 2。 4 乘 2 是 8，我换一个颜色。 4 乘 2 是 8，减去 2 乘 2 平方，就是 8， 然后加上 1/3 乘 2 的立方， 就是 1/3 乘 8。 它俩抵消掉， 这是 8 减 8，还剩 8/3。 结果是 8/3。 然后还要把 0 代入进去， 整个就等于 0， 4 乘 0，2 乘 0，整个就是 0。 所以减去 0。 这么一来，我们算出了第二面墙的表面积， 它最终等于 8/3。 现在只剩最后一面墙， 然后就能把他们全加起来。 我们要算最后一面墙。 我要再来一次参数化， 我们还需要看图， 好吧，也许我可以复制一个， 当当当，图来了！ 我们来计算最后一面墙。 最后这面墙是这个， 可以把它表示为 c3， 换个颜色。 这是 c3，我们要沿着 c3 对 f(x,y) ds 进行积分， 它就等于——我再来一次参数化， 沿着这条线，我们可以假设 x 等于 t， 很直接，t 大于等于 0，小于等于 2， 这一次我们一直沿着 x 轴， 所以 y 就等于 0。 这是很简单的参数化。 它就等于，从 t 等于 0 到 t 等于 2， 里面是 f(x,y)，也就是—— 我直接把函数写出来， x 加 y 平方，再乘以 ds， 好，ds 是什么？恩，我先写 ds， 乘以 ds。 这是要计算的东西。 我们知道 ds 等于什么， ds 等于根号下 dx/dt 平方， 加上 dy/dt 平方，乘以 dt。 我们已经证明过， 虽然没有严格证明， 但我们知道它是对的。 x 对 t 的导数是什么？ 就是 1，这个就等于 1。 1 的平方，还是 1。 y 对 t 的导数是 0。 这是 0，1加0等于1，根号 1 还是 1。 它就等于 dt， 这个情况下，ds 就等于 dt。 所以这也就是 dt。 然后，因为 x 等于 t， 在这次的参数化中，y 等于 0， 所以忽略 y。 这是个超级简单的积分。 它化简为，积分从 t 等于 0 到等于 2， t dt，等于 t 的反导数，1/2 t 平方， 从 t 等于 0 到 2， 等于 1/2 乘以 2 平方， 2 平方是 4，乘以 1/2 等于2， 减去 1/2 乘以 0 平方，还是 0， 所以，第三面墙的面积等于 2。 非常简单。 所以这个面积，就是 2。 我们可以回答这道题了， 沿着这条曲线对 f(x,y) 进行曲线积分，等于什么？ 我们只需要把这些数字加起来。 4 加 2π 加 8/3 加 2， 8/3 等于 2 又 2/3， 4 加 2 又 2/3 等于 6 又 2/3， 再加 2 是 8 又 2/3， 所以这整个等于 8 又 2/3，是个带分数， 再加 2π。 结束喽！！ 终于结束喽！！ 下一次，我们就要用向量函数来计算曲线积分。