矢量函数入门

有一条曲线C, 它被描述，它能被参数化， 我说不清这个词，例如，x = x(t), y = y(t), 并且该曲线在t介于a和b之间有效。 即a ≤ t ≤ b。 如果我要把它画下来，我来试试， 我能把它画成这样。 这里我只是泛泛而谈。 这不是一个很具体的例子。 这是x轴，这是y轴。 曲线上，这是当t = a时的点， 然后曲线是这样的。 我不知道这条曲线是关于什么，但是这里， 这是t = b。 这里这个点是x(b)。 即t= b时，x(t)的值，和y(b)。 而这里当然就是当t = a的点。 在笛卡尔坐标系上的二维坐标 是x(a), 对应于这里， 和y(a)，对应于这里。 我们已经见过了这种表达方式， 这只是使用两个带参方程来描述带参函数或曲线的标准方法。 这里我想要做的是 用一个向量值函数来描述这同一条曲线。 所以，如果我定义一个向量值函数， 如果你不记得这是什么了， 那我们来稍稍回顾一下。 例如有一个向量值函数r， 我会在它上面放一个小的向量箭头。 在很多教科书里，他们只是用一个粗体字母来表示向量。 而对于标量值函数，不使用粗体 但是很难画粗体 所以我还是在字母上面画一个向量箭头。 这里r是t的函数。 而且这是位置向量。 位置向量 位置向量 我特意提及这点， 因为当大家提到向量时， 这个向量和这个向量被认为是等价的 只要它们有一样的幅度和方向。 没人关心 它们的起始点和终止点 只要它们的方向相同，长度也相同。 但是当你提到位置向量， 那么你就是在说， “不，这些向量是从零点，即原点开始。” 而且当你提及位置向量 其实你的言下之意是， “这给定了一个唯一的位置。” 本例中，它是在一个二维空间中， 但是它也可能位于三维空间， 或者四维，五维，甚至n维空间。 所以，当你说到位置向量， 你其实是在说， “这个向量给定了空间中的一个点。” 所以，如果我们能把这条曲线 描述为一个向量，一个位置向量值函数。 那么，r(t), 让我换回到粉红色， 嗯，这个还是绿色， 就等于x(t) 乘以x方向的单位向量， 单位向量上有一个小的脱字符， 像一个箭头的小帽子。 那只是表明它是一个单位向量。 加上， y(t)乘以j。 如果我要解决的是三维空间的一条曲线， 我还得加上z(t)乘以k。 但是这里我们面对的是二维空间。 所以，正确的方法是，你应该 对于t， 我们要保证t大于或等于a 同时小于或等于b。 这是和这个完全一样的东西。 让我重新画一下。 让我画出坐标系。 这儿是坐标系。 坐标轴。 这是y轴，而这是x轴。 那么，当你求解r(a), 这是起始点，我来吧。 这是r(a)，我写在这里。 我们的位置向量值函数 当t=a时，等于x(a)乘以x方向的单位向量， 加上y(a)乘以垂直方向或 y方向的单位向量。 它看起来是怎么样的呢？ x(a)是这里的这段。 即x(a)乘以单位向量。 也许单位向量是这么长， 它的长度是1， 那我们在那个方向的长度是x(a)。 对y(a)同理。 它是在这个方向有y(a)那么长。 基本上，对于这里的这个向量， 如果你加上这两个单位向量的标量值， 你就会得到这样的r(a)。 它是一个像这样的向量。 这样的。 这是一个向量，一个位置向量， 这是为什么我们画成从原点开始 在标准坐标系中把它画出来。 这里的这个 就是r(a)。 如果a增加一点点会怎样呢？ a增加一点点r是怎样的结果？ 我们可以称之为r(a+𝛅) 或者r(a+h)。 我们用不同的颜色来表示。 所以，如果a增加一点点， 那么我们会得到r(a+h)等于 x(a+h)乘以单位向量i， 加上y(a+h)乘以单位向量j。 结果看起来会是怎样的呢？ 我们将得到沿曲线上的另一个点。 也就是坐标点 x(a+h), y(a+h)。 可能是这里的这个点， 所以这是一个新的单位向量。 新的单位向量。 不好意思，应该说这是一个新的向量，位置向量， 不是单位向量，它们的长度不是1， 在这里。 让我用同样的颜色。 它是这样的， 像这样。 所以这里就是r(a+h)。 那么，当你不断地增加t的值 直到b，这些位置向量 就给定了 这条曲线上的所有点。 所以这条曲线，让我用不同的颜色来画这条曲线。 这条曲线看起来是这样的。 这跟上面我画的曲线 完全一样。 例如，r(b) 是这样的一个向量。 这样的一个向量。 我来把它画直一点。 这儿的这个向量， 就是r(b)。 好了，希望你认识到了， 这些位置向量确实指定了 曲线上的那些点， 正是我们用参数法求出的那些点。 这里我做的这是一个小小的回顾， 我们将尝试 求解向量值函数的导数。 我会在下一个视频中讲解它。