从起始点到终点的向量大小

我们在图中画了一个向量， 让我们叫它向量w， 如图所示， 这个向量的起点在这儿， 它的坐标是(-7, 3)。 这个向量的终点在这儿， 它的坐标是(2, -1)。 在本视频中，我们要做的是 求出这个向量的大小。 你可能会问：什么叫向量的“大小”？ 嗯，你可以把它理解成： 这个向量的“长度”。 这个向量有多长？ 请暂停视频，试试看你能否根据已知条件 求出这个向量的长度。 你可能会想到 这个向量的大小， 这个向量的长度实际上就是 这两个点之间的距离。 要求出这个向量的大小， 你只需要应用 两点间距离公式， 这公式本质上就是勾股定理。 所以我们能做的是在这里构造一个直角三角形。 让我把它给画出来。 这条红色的高，是纵坐标y的变化量。 我们记作Δy。 而这条浅蓝色的线段， 则对应横坐标x的变化量， 我们记作Δx。 根据勾股定理，我们知道 这条斜边的长度， 也就是这个向量的大小， 它就等于， 它就等于根号下 x变化量的平方， Δx的平方， 加上y变化量的平方， 加上Δy的平方。 所以，它具体是多少呢？ 此处x的变化量是多少？ x的变化量， Δx， 等于终点的横坐标减去起点的横坐标。 也就是2减去-7。 它等于2减去-7， 也就是正9。 所以这里是9的平方。 而此处y的变化量又等于多少呢？ 同理，y的变化量， 等于终点的纵坐标，也就是-1， 减去起点的纵坐标，也就是3， -1减3，得-4。 我们的确往下走了4个单位长度。 所以这里等于-4。 综上所述，这个向量的大小就等于根号下 9的平方， 也就是81， 再加上-4的平方，也就是16。 这加起来一共是多少？ 让我们看看，81加6等于87， 再加10，得到根号下97。 所以这个式子等于根号下97， 我想它已经没法进一步化简了。 如果你想估算它大概有多大的话， 可以用根号下100作为近似。 也就是说，这个值略小于10。 这就是这个向量的大小。 在刚才的例子里，我们的计算 基于向量起点和终点的坐标。 除此之外，向量还可以通过另一种方式， 通过给定x分量和y分量的方式来定义。 比如， 在刚才的例子里， 你可以把向量w 看作两个向量的和， 其中的一个向量， 我们用蓝笔来画， 其中的x分量。 你可以把它看作w的x分量， 而另一部分则是它的y分量。 你可以把这根红色的箭头， 看作w的y分量。 然后你立马可以看出， y分量对应y的变化量， x分量则对应x的变化量。 在有的地方你会看到这种写法： 这个向量， 向量w 等于 它长得有点像坐标， 但其代表的实际上是组分。 x组分 等于正9。 x组分等于正9， 而y组分等于-4。 等于-4。 你可能会说，这样一来， 我们就只知道该向量的x组分和y组分， 我们并不知道它的起点和终点。 我们是有意如此为之的，因为对向量而言， 我们只在乎它的大小和方向， 而这两个信息已经齐备了。 如果你想求大小， 只需要计算这两个变化量 平方和的算术平方根。 和刚才一样，根号下9的平方 加-4的平方 等于根号下97。 所以这个表达式 已经给定了向量的大小和方向， 不过你还可以任意移动这个向量。 你也可以让向量w 从这个点出发， 先朝x轴正方向走9， 再朝y轴正方向走-4， 也就是往下走4。 它最终会长这样。 再重复一次，你可以任意平移一个向量， 你真正关心的是它的大小和方向。 希望通过刚才的说明， 你已经掌握了，在给定分量或起止点的前提下， 如何求向量的大小。