有理表达式等式 (例子2)

- [讲述者]我们这里有一个短小精悍的等式 这个等式包含了一些有理表达式 跟之前一样，暂停这个视频 看看你能不能自己解出这个问题 哪些x的值能够使这个等式成立。 好了。让我们来一起解这个问题。 现在，每当我在分母里看到这样的东西时， 我的直觉是我们不应该在分母里有这样的东西。 因此我们可以做的是想办法从等式左边的 分母里把这个x-1消去。 我们可以让等式的两边同时 乘以x-1， x-1。 我们要把两边都乘以x-1。 再强调一下，这样的意义是 我们可以把这个x-1 从这里的分母里消去。 然后如果要把这里的x+1 从这里的分母里消去的话， 我们可以让等式两边都乘以x+1。 所以，x+1。 让等式两边都乘以x+1。 那么我们会得到什么呢？ 等式的左边，我们会得到， x-1除以x-1就是1 当x在定义域里时， 也就是x不等于1时。 因此，我们将会得到x+1 乘以负2x+4。 让我把它写下来。 我们有x加， 我之后还需要一些地方， 所以让我确保我写的字不会太大。 x+1乘以-2x， -2x+4 就等于。 现在，如果我们把这两项 乘以3除以x+1， x+1将会与这个x+1抵消 然后我们就会剩下3乘以x-1。 这也就等于3x-3， 3x-3， 然后再减去， 减去1乘以这两项。 也就是1乘以x-1乘以x+1。 -1乘以 x-1乘以x+1。 我所做的仅仅是我进行了乘法运算， 取了x-1乘以x+1， 然后分别乘以了这里的每一项。 当我乘这里的第一项的时候， x+1和x+1相互抵消了， 所以我只需要用3乘以x+1。 然后对于这里的第二项， 我只是乘了这两项。 现在你可能已经认出来了， 如果有x+1乘以x-1， 那么这就等于x的平方减1。 因此我可以把这里的这一项重写 写成等于 等于 x的平方减1， 再强调一下，这是因为它等于 x的平方减1。 因为我在减去x的平方减1， 实际上，让我，我不想一步步骤里进行太多运算 让我们写到下一步吧。 我可以把它乘出来。 我可以用x乘以-2x 我们J就会得到-2x的平方。 x乘以4， 我们就会得到+4x 然后我可以用1乘以-2x。 就会变成-2x。 然后1乘以4，也就是+4， 然后这整个式子就等于， 这也就等于， 我们这里有一个3x-3 然后我可以分配这个负号， 所以我们会得到-x的平方+1。 然后在这里，我们可以稍微简化一下。 这就会变成，4x减2x 就等于， 我要改一下，好了， 4x减2x，这就会是2x。 因此这个可以简化成，让我们来看看， 这里的这个，我们有一个-3和一个1， 所以这两个放在一起就等于， 减2。 所以我们可以把所有的东西重写成， 我换一个颜色， 负2x的平方 加2x加4 等于负x的平方 加3x减2。 现在我们可以试着把所有的东西 都移动到等式左边了， 那么让我们从两边都减去这个式子。 于是我们要减去的就是， 或者我们说我们要在等式两边都加上x的平方， 加x的平方， 这就会抵消这里的这个白色的负x的平方。 我们从两边都减去3x， 从两边都减去3x， 向两边都加上2，加2， 我们剩下的就是， 我们最后就会得到。 负2x的平方加x的平方 就是负x的平方。 2x减3x就是负x。 然后4加2就是6， 这整个式子就会等于， 这些就会抵消掉这一项，这一项和这一项， 就等于0。 我不喜欢这里的负x的平方。 因此让我们把等式两边都乘以负1。 如果我这么做， 如果我把两边都取负值， 我就把两边都乘以负1。 都是一样的，就是取两边的负值。 我会得到正x的平方加x 减6等于0。 并且我们这里有很大的进展。 所以我们可以因式分解这个式子。 实际上，让我在这里做这件事 这样我们可以看到原题。 这样，如果我要分解这个式子，哪两个数字， 它们的乘积是负6， 它们会是一正一负的 因为它们的乘积是负的。 然后它们相加会得到1， 也就是一次项前面的系数。 正3三和负2符合条件， 所以我可以把这个重写成x+3, 乘以x-2 等于0。 我做的是对的吗？恩，是的。 3乘以负2是负6。 3x-2x是正x。 好的。那么我就可以把这个写成 这个多项式写成分解形式。 然后为了使得整个式子等于0 其中一个必须为0。 x加3等于0 或者x-2等于0。 什么时候这个成立呢？ 如果你从两边都减去3。 也就是当x等于-3的时候 或者在这里，如果你往两边都加2， x等于2。 所以这两个当中的任何一个都能够满足要求， 但是我们想要小心一些。 我们需要确认我们原来的等式 在这两个条件下不会变得没有定义。 负3不会使得 两个分母中的任何一个变成0，所以这个没有问题。 以及正2也不会使得 两个分母中的任何一个变成0。 所以看起来没问题。 这个等式 有两个解。 如果其中一个会使得任何一个分母变成0的话， 那么它们就会变成增根。 它会是我们某些 中间步骤的解， 但是不是原问题的解 并不符合它们原来的表达式的写法。 但是这道题中，我们觉得它们很好因为它们不会 使得分母变成0。