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婆什迦罗第二的勾股定理证明

视频字幕

我现在要证明一个我们12世纪就相信的理论 印度数学家 巴斯卡拉 我们现在要做的就是 画一个正方形 看看我画的正方形 我要从画正方形的角开始 因为这样画对我比较简单 我会尽最大可能 画一个比较像样的正方形 如果我画的不太像正方形你也得接受 这个看起来不错 假设这是一个正方形 那么这是直角 这是直角 这是直角 这是直角 这些边的长度都一样 假设这些边的长度都是C 让我用黄色写 所以正方形的这些边长都是C 现在我要在正方形里 构造4个三角形 我要向下画 直直地向下画 我要向下画直线 画一个像这样的三角形 现在我要往这边画直线 在这里我要穿过刚刚画得线 因为这边是往下的 这边是往右的 所以我们知道这是直角 从正方形的这个顶点出发 我往上画 因为这个是往上 这个是往右 我们知道这是个直角 现在从这个顶点出发 我要水平地画 假设我画的是水平的 我们知道这是个直角 我们知道这也是个直角 现在我们看到我们在正方形里构造的 我们已经构造的四个三角形 在三角形中间 我们看到 至少看起来是一个矩形 或者是一个正方形 我们还没有证明 这是一个正方形 我想知道的下一件事 是这四个三角形是否全等 所以我们知道 它们的斜边都相等 这些斜边 我不知道斜边的复数怎么说 斜边 它们的长度都是C 直角所对的边长度都为C 所以如果我们能证明它们的对应角相等 那么我们就知道这些三角形全等 如果我们能证明这些角相等 而且这条边 对应边都全等 那么这些三角形都是全等 而且我们可以看到 如果我们假设这个角是θ 那么这个角就是90-θ 因为它们互余 它们互余是因为 合在一起构成的正方形的这个角 直角 所以这个角是90-θ 我们知道这两个角 加起来是90° 用180°减去一个直角我们还剩下90° 所以我们知道这个一定是θ 如果这个是θ,那么这个一定是90-θ 我想你应该懂得接下去怎么做了 如果这个是90-θ,那么这个一定是θ 如果这个是θ,那么这个一定是90-θ 如果这个是90-θ,那么这个一定是θ 然后这个就是90-θ 所以我们知道在这4个三角形中 3个角分别是θ,90-θ和90° 所以它们的角都一样 所以至少它们是相似三角形 而且它们的斜边相同 所以我们知道这四个三角形 完全全等 用这个设想 我们假设三角形中比较长的这条边 长度为b 我将要假设的 三角形的长边 所以这个长度我叫它b 我们假设这个比较短的边 就是这条边 这条边 这条边 这条边 长度为a 所以这条高度 这条高度的长度就是 a 接下来我们要做一些有趣的事 首先 让我们想想整个正方形的面积 怎样用c表示这个正方形的面积 这很简单 是c的平方 所以正方形的面积就是c的平方 现在我们要做的就是 重新安排2个三角形的位置 然后用a和b表示表示那个图形的面积 希望这样可以证明勾股定理 为了这样做 但是不要忘记我们的出发点 因为我们的出发点很有趣 复制这个然后粘贴它 我不希望它缺一块 所以复制 粘贴 复制粘贴 这就是我们原本的图形 我们现在要做的 先让我说清楚 说清楚 我现在要开始移动 这个很有趣 我要把这个三角形移到左上 我要把这个三角形移到右下方三角形的下方 我要用复制粘贴完成这项任务 让我们试试看 我画的不太好 这有点难度 我想要保持原型 所以复制 还是直接剪切好了 然后粘贴 我要把这个三角形粘贴到这里 让我把刚才擦掉的线补全 首先要清楚 我们这里有一条线 这里也有一条线 这条线是直的 这两边是对着的 现在我把这块移到这里 把这块移到这里 现在我要把右上的三角形 移到左下三角形的下面 所以我只是重新制造了一样的面积 所以事实上 让我尽可能 剪切这整块 剪切 粘贴 我要把它移到这里 当我做这个的时候 我丢掉了底部 所以让我重新画一下 所以我把它移到这里 所以这个东西 这个三角形 让我上色 这个三角形现在在这 这个三角形现在在这 这个里面的正方形 这是个正方形 现在在这里 所以希望你可以欣赏我们重新调整的图形 现在我的问题是 我们要怎样表达 和原图一样的新图形面积 我只是把这几块移动了一下 我们要怎样用a b表达? 其实关键就是 找出底边的长度 这条底边的长度是什么? 这条底边的长度是b 这条边的长度是a 所以这整条底边的长度是a+b 这挺有趣 但我们可以意识到这条边 和刚才那条边一样 也是a 所以我们可以构造出一个以a为边长的正方形 这个正方形以a为边长 所以这个面积是a的平方 让我上色一下让你们看得更清楚 这个面积是a的平方 那么剩下的面积是什么? 如果这条边是a 那么这条边也是a 如果这整个底边是a+b 那么我们知道剩下的面积 减去a之后 一定是b 如果整条边是a+b 这个是a 那么这个就是b 所以剩下的这个新图形 这个新图形 我现在画了阴影的地方 这个就是b的平方 所以它的面积是b的平方 所以这个图形的面积 就是a的平方加上b的平方 很幸运 因为它就等于刚才我们用c表示的面积 因为这两个图形的面积是完全一样的 我们只是重新安排了它们的位置 所以等于c的平方 所以我们得出答案 巴斯卡拉给了我们一个 非常有趣的证明勾股定理的方法