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课程: 八年级 > 单元 4

课程 9: 因式分解：平方差

分解二次表达式：平方差

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学习如何分解"平方差"形式的二次表达式。例如，将x²-16分解为(x+4)(x-4).

因式分解多项式需要我们将式子写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.

在这篇文章里，我们将学习用平方差公式来分解多项式.如果你不了解平方差公式，请在继续阅读之前先看一下我们的短片video .

简介:平方差公式

每个表示平方差的多项式都可以通过运用以下公式进行因式分解：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

请注意在此公式中的

a

和

b

可被替换为任何代数的表达式.例如，当

a = x

，

b = 2

，我们就可以得到如下式子：

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

多项式

x^{2} - 4

现在就可以用分解形式表达，

(x + 2) (x - 2)

.我们可以通过拓展右侧方程来证明这个因式分解的过程是正确的.

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

现在既然我们理解了这个公式，那就让我们运用它来分解更多的多项式吧.

例题 1：分解 $x^{2} - 16$ ‍ .

既然

x^{2} = (x)^{2}

，

16 = (4)^{2}

，那么

x^{2}

和

16

都是完全平方式. 换句话讲:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

既然这两个平方在相减，我们就可以发现这个多项式代表了平方差，那么我们就可以运用平方差公式 来因式分解：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

在这个例子中，

a = x

，

b = 4

.因此，我们多项式的两个因数就是如下：

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

我们可以通过计算这个乘法的结果是否是

x^{2} - 16

来检查这个运算过程.

看看你对知识掌握得如何

1)因式分解 $x^{2} - 25$ ‍.

2) 因式分解 $x^{2} - 100$ ‍.

反思题

3) 我们能否利用平方差公式来分解 $x^{2} + 25$ ‍?

例题 2：因式分解 $4 x^{2} - 9$ ‍

使用平方差公式并不要求首项系数为

1

. 事实上，在这个例子中我们可以使用平方差公式！

这是因为

4 x^{2} = (2 x)^{2}

，

9 = (3)^{2}

，所以

4 x^{2}

和

9

都是 完全平方数，我们可以把这个信息运用进平方差公式中以进行因式分解：

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

一个快速的乘法验证了我们的答案.

看看你对知识掌握得如何

4) 因式分解 $25 x^{2} - 4$ ‍.

5) 因式分解 $64 x^{2} - 81$ ‍.

6) 因式分解 $36 x^{2} - 1$ ‍.

挑战题

7*) 因式分解 $x^{4} - 9$ ‍.

既然

x^{4} = (x^{2})^{2}

，

9 = (3)^{2}

，那么

x^{4}

和

9

就是完全平方式. 又因为这两个式子在相减，所以我们就可以运用平方差公式来进行多项式的因式分解.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

请注意我们可以运用平方差公式来对非二次多项式进行因式分解.只要这个多项式可以被表达为两个平方的差，我们就可以运用这个公式！

8*) 因式分解 $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.

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简介:平方差公式

例题 1：分解 x2−16‍ .

看看你对知识掌握得如何

反思题

例题 2：因式分解 4x2−9‍

看看你对知识掌握得如何

挑战题

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例题 1：分解 $x^{2} - 16$ ‍ .

例题 2：因式分解 $4 x^{2} - 9$ ‍