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八年级

课程: 八年级 > 单元 4

课程 9: 因式分解：平方差
数学
八年级
整式的乘法与因式分解
因式分解：平方差
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分解二次表达式：平方差

Google课堂
学习如何分解"平方差"形式的二次表达式。例如，将x²-16分解为(x+4)(x-4).
因式分解多项式需要我们将式子写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.
在这篇文章里，我们将学习用平方差公式来分解多项式.如果你不了解平方差公式，请在继续阅读之前先看一下我们的短片video .

简介:平方差公式

每个表示平方差的多项式都可以通过运用以下公式进行因式分解：
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
请注意在此公式中的a和b可被替换为任何代数的表达式.例如，当 a, equals, x ， b, equals, 2，我们就可以得到如下式子：
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
多项式 x, squared, minus, 4 现在就可以用分解形式表达，left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.我们可以通过拓展右侧方程来证明这个因式分解的过程是正确的.
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
现在既然我们理解了这个公式，那就让我们运用它来分解更多的多项式吧.

例题 1：分解 x, squared, minus, 16 .

既然 x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ， 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared，那么 x, squared和16 都是完全平方式. 换句话讲:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
既然这两个平方在相减，我们就可以发现这个多项式代表了平方差，那么我们就可以运用平方差公式 来因式分解：
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
在这个例子中，start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ， start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.因此，我们多项式的两个因数就是如下：
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
我们可以通过计算这个乘法的结果是否是x, squared, minus, 16来检查这个运算过程.

看看你对知识掌握得如何

1)因式分解x, squared, minus, 25.
选出正确答案：

2) 因式分解 x, squared, minus, 100.

反思题

3) 我们能否利用平方差公式来分解 x, squared, plus, 25?
选出正确答案：

例题 2：因式分解 4, x, squared, minus, 9

使用平方差公式并不要求首项系数为1. 事实上，在这个例子中我们可以使用平方差公式！
这是因为 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ， 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared， 所以 4, x, squared 和 9 都是 完全平方数，我们可以把这个信息运用进平方差公式中以进行因式分解：
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
一个快速的乘法验证了我们的答案.

看看你对知识掌握得如何

4) 因式分解 25, x, squared, minus, 4.
选出正确答案：

5) 因式分解 64, x, squared, minus, 81.

6) 因式分解 36, x, squared, minus, 1.

挑战题

7*) 因式分解 x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) 因式分解 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

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