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课程: 物理 > 单元 12

课程 1: 欧姆定律和带电阻的电路

基尔霍夫定律

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基尔霍夫定律描述了节点中的电流和环路周围的电压。两个定律是高阶电路分析的基础。作者：威利·麦克阿利斯特。

基尔霍夫的电压和电流定律是分析电路的基础。有了这两个定律，加上单元件（电阻，电容，电感）的公式，我们就有了开始分析电路的基本工具。

这篇文章假设你熟悉节点、分布式节点、支路和环路的定义。
你有可能要准备笔和纸，以做例题。

电流进入一个节点

在我们讨论理论之前，试一试自己理解以下的例子。以下的电路原理表显示四个分录电流流入便流出一个分布式节点。各个电流都被表达为毫安，

mA

。其中一个电流，

i

, 是未知的。

问题1: $i$ ‍ 是多少?

进入节点的电流能找到某种方法流出另外一个之路是直观的。毕竟，我们不预期流动的电荷会在节点里面堆积。

6 mA

流入节点 (

5

来自左边，和

1

来自右边)，因此

6 mA

一定在某处流出。

2 mA

从上面流出，就剩下

4 mA

一定在分支

i

中从下面流出。

i

的蓝色电流箭头向节点外指，与电流的方向一致，因此答案是正数。

i = 4 mA

这是另外一个例子，这次不用具体数值而用变量名。这个节点有

5

个分支。每个分支有可能带有（也有可能不带有）一个电流，标为

i_{1} 至 i_{5}

。

所有箭头都是向内指的。这样的方向选择是随意的。向内指的箭头跟任何方向的选择一样好，在这里。这些箭头建立一个参考方向，作为我们选择称为正电流的方向。

看看分支

i_{1}

.
它是到哪儿去的？

i_{1}

做的第一件事就是流入节点（以黑点代表）。

然后呢？

这是

i_{1}

不能做的两件事：

i_{1}

中的流动电荷不能保存在节点中。（节点没有存储电荷的地方）。而

i_{1}

的电荷不能从电线中跳到空气中。电荷在普通情况下不会这样。

还能怎样？：电流必须从其它的一个或多个分支流出节点。

对于我们例子中的节点，我们会写为，

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

如果

i_{1}

是一个流入节点的正电流，其它的一个或者多个电流一定是往外流的。这些往外流的电流会有

-

负号。

这个关于节点中流动电流的观察被基尔霍夫定律很好地概括了。

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律说所有流入一个节点的总和与所有流出这个节点的电流的总和相等。这可以被写为，

\sum i_{流 入} = \sum i_{流 出}

基尔霍夫电流定律 - 概念测试

电流是用毫安

mA

来表达的。

问题 2: $i_{5}$ ‍ 是多少?

直接应用基尔霍夫电流定律。

\sum_{n} i_{n} = 0

提示： 开始之前，观察箭头。它们是向内，向外，还是两个方向都指的? 这个步骤会避免你犯一个很常见的符号错误。

这个例子中的所有箭头都是向内指的。因此我们可以直接按照数字写的那样计算总和。

把这五个分支加起来并将总和定为 0。

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

解出

i_{5}

值：

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

问题 3: $i_{3}$ ‍ 在这个分布式节点中是多少?

这个问题考验你的箭头和符号的技巧。箭头的方向是混合的，有些向内指，有些向外指。慢慢来，保证符号正确。这令我们将问题分成两部。

用指向同一个方向的箭头 (全部向内或全部向外) 重画这个节点，根据需要调整数字的符号。
应用基尔霍夫电流定律。

步骤 1.

i_{3}

的箭头向外指。我们不要忘记这一点，所以我们的技巧就是将其它所有箭头都调成与

i_{3}

一样的方向，对电流的符号进行相应的调整。观察原先的图形，我们必须调转两个箭头，以及两个相对应的符号。在以下重画的示意图中，电流

- 4

和

+ 1

是往外流的。

步骤 2. 应用基尔霍夫电流定律。我们用的电流定律形式是说 "流出一个节点的所有电流的和是零" 的。所以将所有 "流出" 的电流加起来，和为零。

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

解出

i_{3}

值，

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

标为

i_{3}

的分支中没有电流流动。

回路周围的电压

以下是带有四个电阻和一个电压源的电路。我们会通过欧姆定律一步步地解决这个问题。然后我们会看看结果并做些观察。解决这个电路的第一步是计算电流。接着我们会计算各个电阻之间的电压。

我们认识这是个串联电路，因此只有一个电流，

i

，流过所有五个元素。要计算

i

，可以把这四个串联电阻简化为单个相等的电阻：

R_{串 联} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

用欧姆定律，电流就是：

i = \frac{V}{R_{串 联}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0.020 A = 20 mA

现在我们已知道电流。接着我们计算这四个电阻之间的电压。回到原先的示意图并为所有五个元元件上电压：

欧姆定律再应用四次，以计算每个电阻两端的电压：

v = i R

v_{R1} = 20 mA \cdot 100 Ω = + 2 V

v_{R2} = 20 mA \cdot 200 Ω = + 4 V

v_{R3} = 20 mA \cdot 300 Ω = + 6 V

v_{R4} = 20 mA \cdot 400 Ω = + 8 V

我们知道电流以及所有的电压。电路已解。

我们可以在示意图上写电阻和电源的电压。这五个电压被称为 原件电压。（电路节点也被命名，

a

至

e

，这样我们就能讨论它们。）

让我们快速检查一下。将所有电阻的电压加起来。

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

单独电阻的电压加起来等于电源的电压。这很有道理，并确认我们的计算。

现在我们再次将电压加起来，用一个稍微不同的程序：“沿着回路”。这里没有新知识，我们只是重新组合同一个计算。

程序：沿着回路将元件电压加起来

步骤 1: 选择一个节点开始

步骤 2: 选择一个沿着回路的方向 (顺时针或者逆时针)。

步骤 3: 沿着回路走。

将每个原件电压加在一个逐渐增加的总和中，根据以下规律：

当你遇到一个新的原件，在进入元件时看一下电压的符号。
如果符号是 $+$ ‍，通过元件时电压会降低。减掉元件的电压。
如果符号是 $-$ ‍, 通过原件时电压会增加。加上元件的电压。
有些课本会教你不同的符号规则来通过回路。规则跟以上的相同，也给你同样的结果。
当你遇到一个新的元件时，进入元件时看一看电压的符号。
如果符号是 $+$ ‍, 加元件的电压。
如果符号是 $-$ ‍, 减元件的电压。
这个规则没有电压增加/降低的概念，但是可能更容易记住。这是你的选择。关键是要完全一致应用你所选的规则。

步骤 4: 继续沿着回路直到达到起点，包括所有元件电压。

应用回路程序

让我们一步一步地进行这个程序。

在左下侧的节点 $a$ ‍ 开始。
顺时针走。

我们第一个遇到的元件是电压源。我们第一个遇到的电压符号是个 $-$ ‍ 负号，所以通过这个元件时电压会增加。参考程序的步骤 3，我们以加这个电压源开始总和回路。
‍

v_{l o o p} = + 20 V

通过电压源，到节点

b

。

下一个遇到的元件是

100 Ω

电阻。它最近的电压符号是

+

。再次参考程序，而这次我们从逐渐增加的总和减去元件的电压。

v_{l o o p} = + 20 V - 2 V

通过

100 Ω

电阻，到节点

c

继续。接着我们访问

200 Ω

的电阻，我们再次遇到

+

符号，于是我们减去这个电压。

v_{l o o p} = + 20 V - 2 V - 4 V

通过

200 Ω

电阻，到节点

d

我们以再加两个元件完成这个回路，

v_{l o o p} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

通过

300 Ω

电阻, 到节点

e

。

v_{l o o p} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

在

400 Ω

电阻后。

（检查电路示意图，确认我最后两个

-

符号是正确的。）

完成。我们回到了节点 $a$ ‍。这个 $v_{l o o p}$ ‍ 的公式总共是什么？
‍

v_{l o o p} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

绕着回路的电压的总和是

0

。起点和终点是同一点，因此开始的和结束的电压是一样的。在你的 ”走路“ 中，你经过了电压升高和电压降低，这些变化到你回到开始的地方就互相抵消了。这是因为电力是守恒的。如果你回到开始的地方，不会有净增加或净减少的能量。

我们会另外一个例子，这次不用具体数值而用变量名。以下熟悉的示意图已标上电压和节点的名字。电阻上的电压极性被组合成你可能没有预料的方式，所有的箭头都指向同个方向，绕着回路。这显示了回路的一个有意思的属性。

让我们沿着回路走走，边走边把电压加起来。我们的起点是左下角的节点

a

。我们沿着回路走是顺时针的（一个随意的选择，两个方向都可以）。

以节点

a

开始，往上，我们先遇到电压源上的一个负号，也就是说通过电压源会有

v_{a b}

伏的电压增加。因为这是个电压增加，这个元件电压得一个

+

符号，当我们把它加入回路总和中。

继续沿着回路，从节点

b

到

c

到

d

到

e

，并在开始的节点

a

结束。在路上附加电阻的电压。所有的电阻上的极性标签组合的方式使得我们每次遇到一个电阻都是遇到

-

符号。因此电阻的电压都以

+

的符号加入回路的总和。最终的回路总和如下：

+ v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4}

这加起来是什么？让我们通过思考解答。

回路在同一个节点开始和结束，因此开始和结束的电压是一样的。我们沿着回路，将电压加起来，最后回到一样的电压。这意味着电压加起来移送是零。为我们例子中的回路，我们会写为，

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

假设沿着回路的电压加起来不等于零。你会得到一个荒谬的发现。

如果沿着回路的电压加起来等于

+ 1

伏会怎么样？意思是如果你在节点

a

开始，沿着回路走，边走边记录电压，然后回到

a

，电压不知道怎样变成了比开始的电压高

1

伏的电压（哈？）。如果你再走一遍，

a

的电压变成

2

伏（双倍哈？）。这不可能发生。

节点

a

的电压不会因为你心算回路的电压而有变化。沿着回路的电压的总和一定是零。

这个关于沿着回路的电压的观察被基尔霍夫电压定律很好地概括了。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律：沿着回路的电压的总和是零。

基尔霍夫电压定律可以写为，

\sum_{n} v_{n} = 0

在此

n

就是沿着回路的元件电压的数量

你还可以以另一种方式表达基尔霍夫电压定律：电压增加的总和与电压降低的总和相等。

\sum v_{增 加} = \sum v_{降 低}

基尔霍夫电压定律有一些很好的属性：

你可以从任何节点开始沿着回路。沿着回路走并回到起点，沿着回路的电压加起来就会等于零。
你可以按照任何方向沿着回路，顺时针或者逆时针。基尔霍夫电压定律依然成立。
如果一个电路有多个回路，基尔霍夫电压定律对每个回路是成立的。

电压都是正的？

如果你想知道：如果电压加起来等于零，它们如何都能是正的？没事。电压箭头和极性符号只是电压的参考方向。当电路分析完成，一个或者多个沿着回路的原件电压关于电压箭头会是负的。实际的电压的符号总会在计算时抵消。

基尔霍夫电压定律 - 概念测试

问题 4： $v_{R 3}$ ‍ 是多少？

提醒：在沿着回路走时检查每个元件电压的第一个符号。

用基尔霍夫电压定律来解决这个问题。

\sum_{n} v_{n} = 0

选择一个节点来开始。节点

A

与其它任何一个都一样好。我们会顺时针地沿着回路走。

电压箭头是混乱的，它们不全指向同一个方向。因此当我们写接下来的公式，我们会 非常小心地 注意回路中每个元件的电压极性。参考 程序：沿着回路将元件电压加起来 以提醒自己哪个电压箭头的方向得到哪个符号。

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- v_{R3}) + (- 1) = 0

在以上公式中用正确的符号是最难的。这是应用基尔霍夫定理时的关键技能。

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = v_{R3}

v_{R3} = + 6 V

检查标为 R3 的电压箭头的方向。它在向上指，从节点

e

向节点

d

。

v_{R3}

的正数结果表示节点

d

比节点

e

.高

6

伏。

更多的练习：再次做这道问题，但是按照反方向回路走。你应该得到同一个答案。

总结

我们认识了两个新朋友。

对于在一个节点的分支的基尔霍夫电流定律，

\sum_{n} i_{n} = 0

对于一个回路中的元件电压的基尔霍夫电压定律，

\sum_{n} v_{n} = 0

我们新的朋友有时以它们的简称来称呼：KCL (Kirchhoff's Current Law) 与 KVL (Kirchhoff's Voltage Law)。

我们还了解到，如果我们要正确的答案，仔细注意电压和电流的符号是很重要的。这是个繁琐的过程，需要对细节非常留心。这是一个好的电子工程师的关键技能。

基尔霍夫定律其实是从麦克斯韦方程组导出的近似值。基尔霍夫定律当电路元件的大小比穿过电路的信号的波长小很多可应用。这个简化可被应用在几乎所有你在初级电子工程学中会遇到的电路。

如果你要更加了解这个导出，很好的参考信息有，

"模拟和数字电子电路的基础Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits", 作者 Anant Agarwal 和 Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Appendix 2A.

"CMOS射频集成电路设计The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 第二版2nd Edition, 作者 Thomas H. Lee, Cambridge University Press, Chapter 6, Distributed Systems.

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