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课程: 电器工程 > 单元 3

课程 1: 电力和电场

电力

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根据库仑定律的解释，电力在电荷之间存在。示例：一条末端没有q的带电线段。引用自 Willy McAllister。

我们对电的学习从 静电学 和静电力开始，四种自然力之一。静电力用库仑定律来描述。我们用库仑定律来算出电荷之间的力。

静电学研究电荷之间的力。静意味着电荷没有移动，或者至少没有很快地移动。

电荷

我们怎么知道存在一种东西叫电荷呢？电荷的概念从自然观察中诞生。我们观察物体之间的力。电荷是物体的一种性质，它产生了观察到的力。就像重力，电场力 ”在一定距离下作用”。”在一定距离下作用”的概念或许非常新颖，但是这就是自然现象。

电场力十分大，远大于重力。而与重力不同的是，有两种电场力，（然而重力只有一种；只会相互吸引）。

与电荷相互吸引不同的是，

就像电荷相互排斥，

电荷之间的力：库仑电场定律

库仑定律恰当地描述了这个自然现象。它具有这种形式，

\vec{F} = K \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}} \hat{r}

其中：

$\vec{F}$ ‍ 是电场力，方向在两个电荷之间的连线上。
$K$ ‍ 是一个常量系数，让等式左边（牛顿）等于右边（库仑和米）。真实实验时必须让答案正确。
$q_{0}$ ‍ and $q_{1}$ ‍ 代表了每个物体所带的电荷，单位是库仑 (电荷的国际单位制)。
$r$ ‍ 是带电物体之间的距离。
$\hat{r}$ ‍ 是一个可变的单位矢量，指向力的方向。如果两个电荷属性相同，那力是排斥的；如果两个电荷属性相反，那力是相互吸引的。

电常数， $ϵ_{0}$ ‍，真空电容率

K

，比例常数，经常以这种形式出现，

这种写法的来历我们之后会提到，高斯电通量定理。在这里，我们发现常量

K

包含几何因数以及另一个跟实验设置有关的因数。高斯定理包含球体表面积。几何因数

4 π

是球体的立体角（可以和圆的总角度

2 π

类比）。常数的其他部分包含实验设定，也就是

ϵ_{0}

。这个写法是高斯定理简单的表达形式。老师们认为最好在开始学习电学时让它变为常量，也就是我们经常看到的库仑定律。

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}}

库仑定律这样写，

\vec{F} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}} \hat{r}

希腊字母

ϵ_{0}

是 电常数，也是 真空电容率。库仑定律描述了一种自然现象。电常数，

ϵ_{0}

，描述了实验设定和系统的单位。“实验状态”代表测量点电荷的

\vec{F}

（或者表现像点电荷的物体，比如球体）。在国际单位制中，

ϵ_{0}

是实验测量出来的，

ϵ_{0} = 8.854 187817 \times 10^{- 12}

库仑

^{2} /

牛顿-米

^{2}

这个

ϵ_{0}

的值导致了，

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} = \frac{1}{4 π \cdot 8.854 \times 10^{- 12}} = 8.987 \times 10^{9}

或者为了工程学的简易性，我们将其记为方便的值，

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} = 9 \times 10^{9}

K

的单位是：牛顿-米

^{2} /

库仑

^{2}

。

示例：三个点电荷

对于第一个例子，我们用库仑定律计算一个点电荷受两个点电荷的力。我们设置三个点电荷在

30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}

三角形的三个顶点上。

q_{2}

，有着黑色外圈的，是我们的测试电荷。

现在，设置一些值：电荷（库仑）以及距离（米），

计算 $q_{2}$ ‍ 受到的力（大小和方向），它具有 $+ 3 C$ ‍ 的电荷。

计算每对电荷的力。在这里例子中有两个力的矢量需要考虑，{

q_{0}

到

q_{2}

} 和 {

q_{1}

到

q_{2}

}。每个力的矢量都沿着两个电荷的连线。

为了简单起见，我们将使用

K

作为比例常数。应用库仑定律来计算力。我们分别考虑大小和角度。力的大小为，

F = K \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}}

F_{02} = K \frac{4 \cdot 3}{(\sqrt{3})^{2}} = K \cdot 4

q_{2}

受到

q_{0}

的力（排斥）

F_{12} = K \frac{1 \cdot 3}{(1)^{2}} = K \cdot 3

q_{2}

受到

q_{1}

的力（吸引）

我们算出了每对力的大小。
最后一步是计算矢量和，得到最终力的大小和方向。

两个力构成了 3-4-5 三角形的两边。
合力的大小是，

| F_{2} | = K \cdot \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = K \cdot 5

通过跟水平面的夹角计算出

∠ {\vec{F}}_{2}

，从

4 C

的电荷开始，

两个三角形的内角，

3-4-5 三角形的角度这样算，

\arcsin (4 / 5) = {53.13}^{\circ}

以及

\arcsin (3 / 5) = {36.86}^{\circ}

两个三角形合在一起就能算出角度（蓝色箭头）：

30^{\circ}

有一个负号，因为它顺时针旋转，然而

{36.9}^{\circ}

的角有一个正号，因为它逆时针旋转。

∠ {\vec{F}}_{2} = - 30^{\circ} + {36.9}^{\circ} = + {6.9}^{\circ}

结合大小和角度，

q_{2}

受的力

{\vec{F}}_{2}

是，

\vec{F_{2}} = K \cdot 5 ∠ {6.9}^{\circ}

\vec{F_{2}} = (9 \times 10^{9}) \cdot 5 ∠ {6.9}^{\circ}

\vec{F_{2}} = 4.5 \times 10^{10} ∠ {6.9}^{\circ} 牛

示例：均匀带电导线一端放有一点电荷

均匀带电导线长

L

米，电荷量为

Q

。假设总电荷

Q

均匀分布。一点电荷

q

在距离一端

a

米的位置。

计算点电荷 $q$ ‍ 受到的合力。

导线总电荷为

Q

库仑。我们可以把导线看成并排排列的无数个点电荷。为了计算

q

受到的合力，我们对每个点电荷进行求和（积分）。

我们定义 电荷密度 为

\frac{Q}{L}

库仑/米。

电荷密度的概念让我们能够表达出在一小段导线上

d x

的点电荷

d Q

，

d Q = \frac{Q}{L} d x

d Q

足够小，可以应用库仑定律。我们可以立刻找出力的方向：电荷

q

受到

d Q

力的方向从

q

指向

d Q

。方向知道了，现在算力的大小，

d F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q d Q}{x^{2}}

分子是两个电荷的乘积，

q

和

d Q

；分母是两个电荷之间的距离。

为了计算合力，加上每个

d Q

的力，从最近端（

a

）到最远端（

a + L

）进行积分。

F = \int_{a}^{a + L} d \vec{F} = \int_{a}^{a + L} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q d Q}{x^{2}}

公式包含

x

和

d Q

两个未知数。为了只保留一个未知数，用

Q / L d x

代替

d Q

，

F = \int_{a}^{a + L} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{L} \frac{1}{x^{2}} d x

移动与

x

无关的项到积分外面。

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{L} \int_{a}^{a + L} \frac{1}{x^{2}} d x

并算出积分，

x

的n次方的不定积分是

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

，对于任意

n \neq - 1

。在这个例子中，

n = - 2

。

\int_{a}^{a + L} x^{- 2} d x = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} = \frac{x^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x}

应用极限求出定积分，

- \frac{1}{x} |_{a}^{a + L} = - [\frac{1}{(a + L)} - \frac{1}{a}] = \frac{1}{a} - \frac{1}{(a + L)}

将每一项乘以相同的项并且将分数相加，

\frac{1}{a} (\frac{a + L}{a + L}) - \frac{1}{(a + L)} (\frac{a}{a}) = \frac{(a + L) - a}{a (a + L)}

分子减去

a

，得到定积分的结果，

\int_{a}^{a + L} x^{- 2} d x = \frac{L}{a (a + L)}

将定积分结果代入力的公式，

\vec{F} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{L} \frac{L}{a (a + L)}

留下最后的带电导线和点电荷之间力的公式。。。

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{a (a + L)}

解法的注意事项：

分子是试验电荷与总电荷的乘积，易于理解。
分母是 ${距离}^{2}$ ‍ 的形式，从最近端到最远端。 $a (a + L)$ ‍ 的形式是这个例子的特别几何特性。
如果点电荷 $q$ ‍ 移动到距离导线很远的地方， $L$ ‍ 与 $a$ ‍ 相比微乎其微，分母就趋近于 $a^{2}$ ‍。所以在非常大的距离之下，导线可以理解为点电荷，就如你想的那样，公式变为两个点电荷之间的库仑定律。

我们会多做几个具有几何特性的电学题目。之后，数学变得重要，所以对于复杂几何问题的解法就是：将几何形状变为简单的，以及会做的几个部分，之后将答案合并即可。

应用库仑定律的策略

库仑定律对于点电荷以及/或者简单几何图形的问题是个很好的方法，例如导线以及球体电荷。

由于库仑定律是基于电荷之间的力，当遇到复杂（多于两个）的点电荷时，

算出每一对电荷的力。
算出矢量和，也就是合力。

对于分散的电荷，可以将分散的电荷看做无数个点电荷，

用 $d Q$ ‍ 代表在一个区域内无穷小的点电荷。
算出点电荷与每一个 $d Q$ ‍ 的力。
使用积分计算合力。这是算合力的矢量和。

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电荷

电荷之间的力：库仑电场定律

电常数， $ϵ_{0}$ ‍，真空电容率

示例：三个点电荷

计算 $q_{2}$ ‍ 受到的力（大小和方向），它具有 $+ 3 C$ ‍ 的电荷。

示例：均匀带电导线一端放有一点电荷

计算点电荷 $q$ ‍ 受到的合力。

应用库仑定律的策略

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电荷

电荷之间的力： 库仑电场定律

电常数， ϵ0‍ ，真空电容率

示例：三个点电荷

计算 q2‍ 受到的力（大小和方向），它具有 +3C‍ 的电荷。

示例：均匀带电导线一端放有一点电荷

计算点电荷 q‍ 受到的合力。

应用库仑定律的策略

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电荷之间的力：库仑电场定律

电常数， $ϵ_{0}$ ‍，真空电容率

计算 $q_{2}$ ‍ 受到的力（大小和方向），它具有 $+ 3 C$ ‍ 的电荷。

计算点电荷 $q$ ‍ 受到的合力。