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主要内容

代数1

课程: 代数1 > 单元 15

课程 6: 因式分解二次多项式：分组法
数学
代数1
因式分解
因式分解二次多项式：分组法
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分解二次表达式：首项系数 ≠ 1

Google课堂
学习如何将二次式分解为两个一次二项式的乘积。例如，2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

学习本课之前需要了解的内容

拥有 4 个项的多项式可以用分组法进行分解，具体方法是分组后反复提取公因式. 如果您对这个方法不熟悉，请首先阅读因式分解入门：分组法一文.
在阅读本章之前，我们还推荐您先阅读因式分解：首项系数为1的二次多项式一文.

本课内容

在本文中，我们将使用分组法对首项系数不为 1 的二次多项式进行因式分解，比如 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

例一：因式分解 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

因为 left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis 的首项系数是start color #11accd, 2, end color #11accd，我们不能用之前的加-乘法来对这个二次多项式进行因式分解.
要分解 start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, 我们必须找到两个整数，其乘积为 start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 （首项系数乘以常数项），而它们的和必须为 start color #e07d10, 7, end color #e07d10（x项的系数）.
因为 start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6，而且 start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7，这两个数是 start color #01a995, 1, end color #01a995 和 start color #01a995, 6, end color #01a995.
有了这两个数，我们就可以把多项式中的 x 项的系数拆开，改写为 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
接下来就可以用分组法对这个多项式进行因式分解了：
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)对多项式进行分组=x(2x+1)+3(2x+1)提取最大公因子=x(2x+1)+3(2x+1)公因式!=(2x+1)(x+3)提取 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{对多项式进行分组}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{提取最大公因子}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{公因式!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{提取 } 2x+1}} \end{aligned}
分解的结果是left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
作为验算，我们可以把这两个因式相乘，就又得到了 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

摘要

一般来说，我们可以用下面的步骤分解形式为 start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff 的二次多项式：
  1. 首先找到两个数，其乘积为 start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff，其和为 start color #e07d10, b, end color #e07d10.
    1. 用这两个数拆开多项式中的 x-项.
    2. 用分组法对这个二次多项式进行因式分解.

看看你对知识掌握得如何

1) 对 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8进行因式分解.
选出正确答案：

2) 对 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15进行因式分解.

例二：因式分解 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

要分解 start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff，我们必须找到两个整数，其乘积为 start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24，其和为 start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
因为 start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24，而且 start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5，这两个数是 start color #01a995, 3, end color #01a995 和 start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
现在我们可以把 minus, 5, x 这个项拆成 start color #01a995, 3, end color #01a995, x 和 start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x 的和，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)对多项式进行分组(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)提取最大公因子(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)简化(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)公因式!(5)=(2x+1)(3x−4)提取 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{对多项式进行分组}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{提取最大公因子}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{简化}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{公因式!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{提取 } 2x+1}}\\ \end{aligned}
分解的结果是 left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
作为验算，我们可以把这两个因式相乘，就又得到了 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
注意： 在以上第start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd步的时候，因为第三项是负的，我们在两个分组之前添了一个加号，以保证这个多项式与原多项式相等.另外在第start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd步的时候，我们必须在第二组中提取一个负公因子，才能找到 2, x, plus, 1 这个公因式.对负号要小心！

看看你对知识掌握得如何

3) 对 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9进行因式分解.
选出正确答案：

4) 对 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5进行因式分解.

5) 对 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6进行因式分解.

这个方法在什么时候有用？

显然，这个方法可以用来分解形式为 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 的多项式，包括 a, does not equal, 1 的情况.
但是，这个方法并不能用来分解所有符合以上形式的二次多项式.
比如二次多项式 start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff.要分解这个多项式，我们需要找到两个整数，其乘积为 start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2，而其和为 start color #e07d10, 2, end color #e07d10. 无论你怎么努力，也不可能找到符合条件的这样两个整数.
因此，我们这个方法不适用于 start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff 以及一些其他的二次多项式.
不过请记住，如果一个二次多项式不能用这个方法分解，那么这个多项式就不能被分解成left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis的形式，其中A, B, C, D是整数.

为什么这个方法可行？

现在我们深入研究一下为什么这个方法能够得到正确结果. 这里需要用到很多字母，请多包涵！
假设一个二次多项式 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 可以被分解为 left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis，其中 A，B，C，和 D 是整数.
去掉括号，得到如下二次多项式：left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
因为这个多项式等于 a, x, squared, plus, b, x, plus, c，所以每项的系数必须相等！这就揭示了这些未知字母之间的关系：
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
现在，令 m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54， n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
根据这个定义……
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
和
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
因此，start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 和 start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff 就是我们每次用这个方法时必须寻找的的那两个整数！
在找到 m 和 n 后，这个方法的下一步是将 x 项的系数 left parenthesis, b, right parenthesis 拆成 m 和 n，然后使用分组法进行分解.
确实，如果我们将 x 项 left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x 拆成 left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x，就能用分组法把这个多项式重新分解成 left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
总而言之，在这一节里我们：
  • 以多项式的一般形式 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 及其分解结果的一般形式 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis 作为出发点，
  • 找到了两个数 m 和 n, 满足 m, n, equals, a, c，m, plus, n, equals, b left parenthesis这是通过定义m, equals, B, C ，n, equals, A, D, 所, 得, right parenthesis,
  • 将 x 项 b, x 拆成 m, x, plus, n, x, 就可以把展开的多项式重新分解成 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
这个过程展示了为什么如果一个多项式能够被分解成 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis 的形式，我们的方法就一定能找到分解的结果.
谢谢你认真看完！

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