主要内容

课程: 代数1 > 单元 15

课程 6: 因式分解二次多项式：分组法

分解二次表达式：首项系数 ≠ 1

学习如何将二次式分解为两个一次二项式的乘积。例如，2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

学习本课之前需要了解的内容

拥有

4

个项的多项式可以用分组法进行分解，具体方法是分组后反复提取公因式. 如果您对这个方法不熟悉，请首先阅读因式分解入门：分组法一文.

在阅读本章之前，我们还推荐您先阅读因式分解：首项系数为1的二次多项式一文.

本课内容

在本文中，我们将使用分组法对首项系数不为

1

的二次多项式进行因式分解，比如

2 x^{2} + 7 x + 3

例一：因式分解 $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

因为

(2 x^{2} + 7 x + 3)

的首项系数是

2

，我们不能用之前的加-乘法来对这个二次多项式进行因式分解.

要分解

2 x^{2} + 7 x + 3

, 我们必须找到两个整数，其乘积为

2 \cdot 3 = 6

（首项系数乘以常数项），而它们的和必须为

7

（

x

项的系数）.

因为

1 \cdot 6 = 6

，而且

1 + 6 = 7

，这两个数是

1

和

6

我们可以列出所有相乘得

6

的数. 然后从中找出相加得

7

的.

乘积: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	和: $m + n = 7$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$\begin{aligned} (- 2) + (- 3) = - 5 \end{aligned}$ ‍

有了这两个数，我们就可以把多项式中的

x

项的系数拆开，改写为

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

接下来就可以用分组法对这个多项式进行因式分解了：

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & 对多项式进行分组 \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & 提取最大公因子 \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & 公因式! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 提取 2 x + 1 \end{aligned}

分解的结果是

(2 x + 1) (x + 3)

假设我们把多项式改写成

2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3

，然后像这样分组：

$\begin{aligned} 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 6 x) + (1 x + 3) & 对多项式进行分组 \end{aligned}$ ‍

注意如果这样分组，也会得到正确的分解结果.

$\begin{aligned} = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & 提取最大公因子 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & 公因式! \\ = (x + 3) (2 x + 1) & 提取 x + 3 \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 乘法交换性质 \end{aligned}$ ‍

只要找到拆开

x

项的正确方式，如何分组是无所谓的.

作为验算，我们可以把这两个因式相乘，就又得到了

2 x^{2} + 7 x + 3

摘要

一般来说，我们可以用下面的步骤分解形式为

a x^{2} + b x + c

的二次多项式：

首先找到两个数，其乘积为 $a c$ ‍，其和为 $b$ ‍.
1. 用这两个数拆开多项式中的 $x$ ‍-项.
2. 用分组法对这个二次多项式进行因式分解.

看看你对知识掌握得如何

1) 对 $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍进行因式分解.

要对

3 x^{2} + 10 x + 8

进行因式分解，我们必须找到两个整数，其乘积为

3 \cdot 8 = 24

，其和为

10

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得24的数，然后从中找出相加为

10

的一对.

乘积: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	和: $m + n = 10$ ‍
$1 \cdot 24 = 24$ ‍		$1 + 24 = 25$ ‍
$2 \cdot 12 = 24$ ‍		$2 + 12 = 14$ ‍
$3 \cdot 8 = 24$ ‍		$3 + 8 = 11$ ‍
$4 \cdot 6 = 24$ ‍		$4 + 6 = 10$ ‍

（请注意，这里我们不需要把负数因子列出来，因为它们相加的结果是负数！）

现在我们可以把

10 x

这个项拆成

4 x + 6 x

，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：

\begin{aligned} 3 x^{2} + 10 x + 8 \\ = 3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 4 x) + (6 x + 8) & 对多项式进行分组 \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & 提取最大公因子 \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & 公因式! \\ = (3 x + 4) (x + 2) & 提取 3 x + 4 \end{aligned}

分解的结果是

(3 x + 4) (x + 2)

2) 对 $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍进行因式分解.

要分解

4 x^{2} + 16 x + 15

，我们必须找到两个整数，其乘积为

4 \cdot 15 = 60

，其和为

16

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得60的数，然后从中找出相加为

16

的一对.

乘积: $m \cdot n = 60$ ‍	‍	和: $m + n = 16$ ‍
$1 \cdot 60 = 60$ ‍		$1 + 60 = 61$ ‍
$2 \cdot 30 = 60$ ‍		$2 + 30 = 32$ ‍
$4 \cdot 15 = 60$ ‍		$4 + 15 = 19$ ‍
$5 \cdot 12 = 60$ ‍		$5 + 12 = 17$ ‍
$6 \cdot 10 = 60$ ‍		$6 + 10 = 16$ ‍

(请注意我们不需要列出负数因子，因为它们相加的结果是负数!)

现在我们可以把

16 x

这个项拆成

6 x + 10 x

，然后用分组法对这个多项式进行因式分解:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 16 x + 15 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 10 x + 15 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (10 x + 15) & 对多项式进行分组 \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & 提取最大公因子 \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & 公因式! \\ = (2 x + 3) (2 x + 5) & 提取 2 x + 3 \end{aligned}

分解的结果是

(2 x + 3) (2 x + 5)

。

例二：因式分解 $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

要分解

6 x^{2} - 5 x - 4

，我们必须找到两个整数，其乘积为

6 \cdot (- 4) = - 24

，其和为

- 5

因为

3 \cdot (- 8) = - 24

，而且

3 + (- 8) = - 5

，这两个数是

3

和

- 8

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得

- 24

的数，然后从中找出相加为

- 5

的一对.

乘积: $m \cdot n = - 24$ ‍	‍	和: $m + n = - 5$ ‍
$1 \cdot (- 24) = - 24$ ‍		$1 + (- 24) = - 23$ ‍
$- 1 \cdot 24 = - 24$ ‍		$- 1 + 24 = 23$ ‍
$2 \cdot (- 12) = - 24$ ‍		$2 + (- 12) = - 10$ ‍
$- 2 \cdot 12 = - 24$ ‍		$- 2 + 12 = 10$ ‍
$3 \cdot (- 8) = - 24$ ‍		$3 + (- 8) = - 5$ ‍
$- 3 \cdot 8 = - 24$ ‍		$- 3 + 8 = 5$ ‍
$4 \cdot (- 6) = - 24$ ‍		$4 + (- 6) = - 2$ ‍
$- 4 \cdot 6 = - 24$ ‍		$\begin{aligned} - 4 + 6 = 2 \end{aligned}$ ‍

现在我们可以把

- 5 x

这个项拆成

3 x

和

- 8 x

的和，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & 对多项式进行分组 \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & 提取最大公因子 \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & 简化 \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & 公因式! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & 提取 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

分解的结果是

(2 x + 1) (3 x - 4)

作为验算，我们可以把这两个因式相乘，就又得到了

6 x^{2} - 5 x - 4

注意： 在以上第

(1)

步的时候，因为第三项是负的，我们在两个分组之前添了一个加号，以保证这个多项式与原多项式相等.另外在第

(2)

步的时候，我们必须在第二组中提取一个负公因子，才能找到

2 x + 1

这个公因式.对负号要小心！

看看你对知识掌握得如何

3) 对 $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍进行因式分解.

要分解

2 x^{2} - 3 x - 9

，我们必须找到两个整数，其乘积为

2 \cdot (- 9) = - 18

，其和为

- 3

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得

- 18

的数，然后从中找出相加为

- 3

的一对.

乘积: $m \cdot n = - 18$ ‍	‍	和: $m + n = - 3$ ‍
$(- 1) \cdot 18 = - 18$ ‍		$(- 1) + 18 = 17$ ‍
$1 \cdot (- 18) = - 18$ ‍		$1 + (- 18) = - 17$ ‍
$(- 2) \cdot 9 = - 18$ ‍		$(- 2) + 9 = 7$ ‍
$2 \cdot (- 9) = - 18$ ‍		$2 + (- 9) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 6 = - 18$ ‍		$(- 3) + 6 = 3$ ‍
$3 \cdot (- 6) = - 18$ ‍		$3 + (- 6) = - 3$ ‍

现在我们可以把

- 3 x

这个项拆成

3 x - 6 x

，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 9 \\ = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 \\ = (2 x^{2} + 3 x) + (- 6 x - 9) & 对多项式进行分组 \\ = x (2 x + 3) + (- 3) (2 x + 3) & 提取最大公因子 \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & 简化 \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & 公因式! \\ = (2 x + 3) (x - 3) & 提取 2 x + 3 \end{aligned}

分解的结果是

(2 x + 3) (x - 3)

4) 对 $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍进行因式分解.

要分解

3 x^{2} - 2 x - 5

，我们必须找到两个整数，其乘积为

3 \cdot (- 5) = - 15

，其和为

- 2

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得

- 15

的数，然后从中找出相加为

- 2

的一对.

乘积: $m \cdot n = - 15$ ‍	‍	和: $m + n = - 2$ ‍
$(- 1) \cdot 15 = - 15$ ‍		$(- 1) + 15 = 14$ ‍
$1 \cdot (- 15) = - 15$ ‍		$1 + (- 15) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot 5 = - 15$ ‍		$(- 3) + 5 = 2$ ‍
$3 \cdot (- 5) = - 15$ ‍		$3 + (- 5) = - 2$ ‍

现在我们可以把

- 2 x

这个项拆成

- 5 x + 3 x

，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：

\begin{aligned} 3 x^{2} - 2 x - 5 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5 \\ = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x - 5) & 对多项式进行分组 \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & 提取最大公因子 \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & 公因式! \\ = (3 x - 5) (x + 1) & 提取 3 x - 5 \end{aligned}

分解的结果是

(3 x - 5) (x + 1)

5) 对 $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍进行因式分解.

要分解，我们必须找到两个整数

6 x^{2} - 13 x + 6

，其乘积为

6 \cdot 6 = 36

，其和为

- 13

要找到这两个数，我们看可以列出所有相乘得

36

的数，然后从中找出相加为

- 13

的一对.

因为这两个数的和为负数，我们只需要考虑两个因子都是负数的情况.

乘积: $m \cdot n = 36$ ‍	‍	和: $m + n = - 13$ ‍
$(- 1) \cdot (- 36) = 36$ ‍		$(- 1) + (- 36) = - 37$ ‍
$(- 2) \cdot (- 18) = 36$ ‍		$(- 2) + (- 18) = - 20$ ‍
$(- 3) \cdot (- 12) = 36$ ‍		$(- 3) + (- 12) = - 15$ ‍
$(- 4) \cdot (- 9) = 36$ ‍		$(- 4) + (- 9) = - 13$ ‍
$(- 6) \cdot (- 6) = 36$ ‍		$(- 6) + (- 6) = - 12$ ‍

现在我们可以把

- 13 x

这个项拆成

- 4 x - 9 x

，然后用分组法对这个多项式进行因式分解：

\begin{aligned} 6 x^{2} - 13 x + 6 \\ = 6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6 \\ = (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x + 6) & 对多项式进行分组 \\ = 2 x (3 x - 2) + (- 3) (3 x - 2) & 提取最大公因子 \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & 简化 \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & 公因式! \\ = (3 x - 2) (2 x - 3) & 提取 3 x - 2 \end{aligned}

分解的结果是

(3 x - 2) (2 x - 3)

这个方法在什么时候有用？

显然，这个方法可以用来分解形式为

a x^{2} + b x + c

的多项式，包括

a \neq 1

的情况.

但是，这个方法并不能用来分解所有符合以上形式的二次多项式.

比如二次多项式

2 x^{2} + 2 x + 1

.要分解这个多项式，我们需要找到两个整数，其乘积为

2 \cdot 1 = 2

，而其和为

2

. 无论你怎么努力，也不可能找到符合条件的这样两个整数.

因此，我们这个方法不适用于

2 x^{2} + 2 x + 1

以及一些其他的二次多项式.

不过请记住，如果一个二次多项式不能用这个方法分解，那么这个多项式就不能被分解成

(A x + B) (C x + D)

的形式，其中

A

B

C

D

是整数.

为什么这个方法可行？

现在我们深入研究一下为什么这个方法能够得到正确结果. 这里需要用到很多字母，请多包涵！

假设一个二次多项式

a x^{2} + b x + c

可以被分解为

(A x + B) (C x + D)

，其中

A

，

B

，

C

，和

D

是整数.

去掉括号，得到如下二次多项式：

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

因为这个多项式等于

a x^{2} + b x + c

，所以每项的系数必须相等！这就揭示了这些未知字母之间的关系：

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

现在，令

m = B C

，

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

根据这个定义……

m + n = B C + A D = b

和

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

因此，

B C

和

A D

就是我们每次用这个方法时必须寻找的的那两个整数！

在找到

m

和

n

后，这个方法的下一步是将

x

项的系数

(b)

拆成

m

和

n

，然后使用分组法进行分解.

确实，如果我们将

x

项

(B C + A D) x

拆成

(B C) x + (A D) x

，就能用分组法把这个多项式重新分解成

(A x + B) (C x + D)

总而言之，在这一节里我们：

以多项式的一般形式 $a x^{2} + b x + c$ ‍ 及其分解结果的一般形式 $(A x + B) (C x + D)$ ‍ 作为出发点，
找到了两个数 $m$ ‍ 和 $n$ ‍, 满足 $m n = a c$ ‍， $m + n = b$ ‍ $($ ‍这是通过定义 $m = B C$ ‍ ， $n = A D 所得)$ ‍,
将 $x$ ‍ 项 $b x$ ‍ 拆成 $m x + n x$ ‍, 就可以把展开的多项式重新分解成 $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

这个过程展示了为什么如果一个多项式能够被分解成

(A x + B) (C x + D)

的形式，我们的方法就一定能找到分解的结果.

谢谢你认真看完！

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学习本课之前需要了解的内容

本课内容

例一：因式分解 2x2+7x+3‍

摘要

看看你对知识掌握得如何

例二：因式分解 6x2−5x−4‍

看看你对知识掌握得如何

这个方法在什么时候有用？

为什么这个方法可行？

想加入讨论吗？

例一：因式分解 $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

例二：因式分解 $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍