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主要内容

虚数单位的幂

学习如何简化虚数 i 的任意次幂。比如说,把 i²⁷ 简化为 -i。
我们知道 i=1,而 i2=1
那么 i3 或者 i4,或者 i 的其他整数幂呢?这些如何解?

求解 i3i4

指数幂的运算法则在这很有用!其实,只要幂的指数是整数,我们就可以应用实数系中指数幂的运算法则,来求 i 的幂。
记住这一点,我们来求 i3 以及 i4
我们知道 i3=i2i,而 i2=1,得出:
i3=i2i=(1)i=i
类似方法, i4=i2i2,而 i2=1,得出:
i4=i2i2=(1)(1)=1

i 的其他幂

我们继续!那我们用类似的方法,求 i 的下面的 4 个幂。
i5=i4i次方属性=1i因为 i4=1=ii6=i4i2次方属性=1(1)因为 i4=1 and i2=1=1i7=i4i3次方属性=1(i)因为 i4=1 and i3=i=ii8=i4i4次方属性=11因为 i4=1=1
以下表格汇总了结果。
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

一个新的规律

从这个表格中可以看出 i 的幂似乎按 i, 1, i1 的顺序重复循环。
根据这个规律,是不是可以求出 i20?来我们试试看!
下面列出的是重复序列中的前 20 个数。
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
根据上述逻辑, i20 应该等于 1。我们看看可不可以用指数幂来支持这一结论。记住,实数指数幂的运算法则在这里依然适用。
i20=(i4)5次方属性=(1)5i4=1=1化简
两种方法都得出 i20=1 的结果。

i 的更高次幂

设现在求解 i138。我们可以将序列 i, 1, i, 1 一直排到第 138 项,但那样太费时间了!
但是注意到,i4=1i8=1i12=1 等等…… 也就是说, i 的指数是4的倍数 则幂为 1
我们能运用这个结果和指数幂的运算法则将 i138 简化。

例题

简化 i138

解法

虽然 138 不是 4 的倍数,但数字 136 是的!我们用它来帮助简化 i138
i138=i136i2次方属性=(i434)i2136=434=(i4)34i2次方属性=(1)34i2i4=1=11i2=1=1
求得 i138=1
你可能想问为什么选择将 i138 改写为 i136i2
因为,若原本指数不是 4 的倍数,那找出最接近且比它小的 4 的倍数,而已知 i4=1,就可以降低幂的次数将其变成 ii2、或 i3
这个数字很好找,只需要把原本的指数除以 4。得出的数字的商(舍去余数)再乘以4

练习

问题 1

简化 i227

问题 2

简化 i2016

问题 3

简化 i537

挑战题

以下哪个选项结果等于 i1
选出正确答案:

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