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课程: 代数2 > 单元 2

课程 1: 什么是虚数？

虚数单位的幂

学习如何简化虚数 i 的任意次幂。比如说，把 i²⁷ 简化为 -i。

我们知道

i = \sqrt{- 1}

，而

i^{2} = - 1

。

那么

i^{3}

或者

i^{4}

，或者

i

的其他整数幂呢？这些如何解？

求解 $i^{3}$ ‍ 和 $i^{4}$ ‍

指数幂的运算法则在这很有用！其实，只要幂的指数是整数，我们就可以应用实数系中指数幂的运算法则，来求

i

的幂。

记住这一点，我们来求

i^{3}

以及

i^{4}

。

我们知道

i^{3} = i^{2} \cdot i

，而

i^{2} = - 1

，得出：

\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}

类似方法，

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

，而

i^{2} = - 1

，得出：

\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}

$i$ ‍ 的其他幂

我们继续！那我们用类似的方法，求

i

的下面的

4

个幂。

\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & 次方属性 \\ = 1 \cdot i & 因为 i^{4} = 1 \\ = i \\ i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & 次方属性 \\ = 1 \cdot (- 1) & 因为 i^{4} = 1 and i^{2} = - 1 \\ = - 1 \\ i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & 次方属性 \\ = 1 \cdot (- i) & 因为 i^{4} = 1 and i^{3} = - i \\ = - i \\ i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & 次方属性 \\ = 1 \cdot 1 & 因为 i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}

以下表格汇总了结果。

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

一个新的规律

从这个表格中可以看出

i

的幂似乎按

i

- 1

- i

和

1

的顺序重复循环。

根据这个规律，是不是可以求出

i^{20}

？来我们试试看！

下面列出的是重复序列中的前

20

个数。

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

根据上述逻辑，

i^{20}

应该等于

1

。我们看看可不可以用指数幂来支持这一结论。记住，实数指数幂的运算法则在这里依然适用。

\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & 次方属性 \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & 化简 \end{aligned}

两种方法都得出

i^{20} = 1

的结果。

$i$ ‍ 的更高次幂

设现在求解

i^{138}

。我们可以将序列

i

- 1

- i

1

一直排到第

138

项，但那样太费时间了！

但是注意到，

i^{4} = 1

，

i^{8} = 1

，

i^{12} = 1

等等…… 也就是说，

i

的指数是 $4$ ‍的倍数 则幂为

1

。

我们能运用这个结果和指数幂的运算法则将

i^{138}

简化。

例题

简化

i^{138}

。

解法

虽然

138

不是

4

的倍数，但数字

136

是的！我们用它来帮助简化

i^{138}

。

\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & 次方属性 \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & 次方属性 \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}

求得

i^{138} = - 1

。

你可能想问为什么选择将

i^{138}

改写为

i^{136} \cdot i^{2}

。

因为，若原本指数不是

4

的倍数，那找出最接近且比它小的

4

的倍数，而已知

i^{4} = 1

，就可以降低幂的次数将其变成

i

、

i^{2}

、或

i^{3}

。

这个数字很好找，只需要把原本的指数除以

4

。得出的数字的商（舍去余数）再乘以

4

。

练习

问题 1

简化 $i^{227}$ ‍。

问题 2

简化 $i^{2016}$ ‍。

问题 3

简化 $i^{537}$ ‍。

挑战题

以下哪个选项结果等于 $i^{- 1}$ ‍？

解这题的一个简单方法是运用被延申后的规律。

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

但是，如果不将这个规律向右延申（也就是指数

> 1

的情况)，而是考虑将规律向左延申（也就是指数

< 1

)。那么，想求

i^{- 1}

，我们只需要将序列向左延续两个位置就可以得知结果。

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
			$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

填上空位，得出：

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

求得

i^{- 1} = - i

。

我们也可以如下，用指数幂的运算法则进行代数运算来证明结果：

\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & 因为 i^{3} = - i 和 i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}

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