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将二次多项式分解为(x+a)(x+b)的形式--更多例题

视频字幕

在这个视频里,我要做几个 二次多项式也就是二次方程的 因式分解例题 有时我们管它叫二次多项式 也可以叫它一元二次方程,或者二次表达式 不管叫什么名字,指的都是最高次项为二次的多项式 说的都是式子中的一个变量 最高次项是二次 在我们做的所有例题里,变量都用x来表示 比方说一个二次表达式 x^2+10x+9 我想把它表达为两个二项式的乘积 怎么来做呢? 我们先来想想 (x+a)×(x+b)的情况 把这两个二项式相乘,结果如何呢? 我们之前做过类似习题 首先是x×x,也就是x^2,加上x×b 也就是bx,加上a×x,加上a×b,也就是加ab 我们也可以把这两个放在中间 因为它们都是x的系数 我们可以把这个写成x^2再加上 b+a或者a+b乘以x,再加上ab 总的来说,如果我们把这看成 两个二项式的乘积的话,我们就可以看出 中间x项的系数或者说是一次项的系数 就等于a+b的和 然后常数项就等于 a和b的乘积 注意,这边这个对应的是中间项的系数 这边的常数项对应的则是这后面的一项 当然,这两个是一回事 那么我们能不能从形入手来对它们进行配对呢? 有没有什么a和b的组合相加正好等于10 乘积又正好等于9呢? 我们来想想这个问题 9的因数都有哪些? a和b都可能等于哪些数? 我们假设所有的数字都是整数 通常进行因数分解时 尤其是在刚开始的时候 我们都是跟整数打交道 那么9的因数都有哪些呢? 分别是1、3和9 那么这就有可能是3和3,也可能是1和9 如果我们所求的是3和3的话,那么它们的和 就不等于10 但是如果是1和9,乘积是9 加和又刚好等于10 所以这一对是可行的 也就是说a可能是1,b可能是9 所以我们就可以把这个分解为(x+1) 乘以(x+9) 如果把这两个式子相乘 用我们过去几周学的知识来思考 你就会发现这其实就是x^2+10x+9 当你看到这样的式子时,如果x^2项 或者这个二次方程里主要的系数是1 你就可以去想,哪两个数字 加起来可以等于这边的系数呢? 而这两个数的乘积 又要等于9 当然,这都是标准行事 或者如果原式不是标准形式 你就应该把它转换过去,方便进行比较 不管哪个在一次项的系数位置上 都等于我的a和b的加和 不管我的常数项是多少,我的a乘以b 都一定等于这个乘积 让我们再做几道题 我觉得做得习题越多 这些做题思路就越清晰 我们假设有一个式子x^2/+ 刚已经做过10x了,这次换个数字— x^2+15x+50 我们要对这个式子进行分解 同样的道理 我们有x^2项 我们有一次项 这里应该是两个数字的加和 这里的常数项 就应该等于两个数的乘积 我们需要找出两个数字 它们相乘等于50,相加等于72 随着你知识的增长,这会慢慢变成一门艺术 但不管怎样,做的联系越多 你思考这类题就会越轻松自如 那么a和b究竟等于多少呢? 我们来想想50的因数分解 可能是1和50 也可能是2和25 我们先来看看,4没有办法整除50 有可能是5和10 我想就这些了 我们来试试这几组数,看哪些 加起来是15 1+50显然不等于15 2+25也可能不是 但是5+10符合条件 所以可能是5+10,但也可能是10+5 如果我们要分解这个的话,它就等于x+5 乘以x+10 然后相乘即可 我鼓励你们自己把它乘出来,然后检查一下 确实x^2+15x加上10 事实上,我们来做一遍就知道了。x × x就是x^2 x×10+5x 5×x,加上5x 5×10+50 注意,5×10就等于50 5x+10x就等于15x 所以式子就可以写为x^2+15x+50 让我们把难度调高一点,把一些负号 加进来 我有x^2-11x+24 现在,运用完全相同的定律 我需要想两个数字,把它们加起来 就得到了-11 a+b需要等于-11 然后a×b也必须等于24 这就有点意思了 当我把它们乘起来时,我就会得到 一个正数 就是24 那就意味着这两个数都应该是正整数 或者它们都是负整数 那是得到正数的唯一方法 现在,如果我把它们加起来,我就得到了一个负数 如果它们是正数,两个正数相加 绝对不可能会得到负数 因此,它们的和是负数而乘积为正这个事实 很明显告诉我们,a和b都是负数 它们必须都是负数 记住,不可能出现一正一负的情况 因为那样乘积就变成负数了 它们也不可能都是正数 因为那样的话相加的和就是一个正数 我们就只考虑a和b的数值问题了 它们两个都是负数 我们想想24的因数 而且必须考虑负的因数 可能是1×24,2×12,3×8 或者4×6 现在当我把它们相乘时 很显然1×24=24 当我用2×12时 还是得到24 我们知道所有这些数对的乘积都是24 但是其中那一对相加 能得到11呢? 然后我们需要 对它们都取负值 在看这几对数的时候,3和8就很显眼 3×8=24 3+8=11 但是那样不太对 因为我们这里要得到的是-11 那如果把它们替换成-3和-8呢? -3×(-8)=24 -3+(-8)=-11 因此-3和-8是成立的 如果我对它因数分解,x^2-11x+24 就等于(x-3)×(x-8) 再来做一道类似的例题 实际上,让我们把这个搞得复杂一点 假设有一个式子是x^2+5x-14 这里我们的情况不同了 乘积是负的,a×b 就等于-14 我的乘积是负的 那就告诉我们这两个数一个为正 另一个为负 当我把两个数相加,a+b=5 我们先来想想14的因数 想想都有哪些数对组合,当它们相加时 一个为正一个为负 而两个数之差是5 如果我们用1和14,我就直接试了 1×14,-1+14=-13 -1+14=-13 让我对所有数对都做一下检验 而你的大脑在这个过程中也转移到分解因数上 -1+14=13 1-14=-13 这个恐怕行不通 它们的和不等于5 那2和7怎么样呢? 如果我们用-2,我用另一种颜色来标记 如果我有-2+7,这就刚好等于5 我们大功告成了 很有效果! 我的意思是我们本可以试试2+(-7)的 但那样它的和就变成了-5,跟条件不相符 但是-2和+7是肯定问题的! -2×7=-14 我们这就做出来了 我们知道(x-2)×(x+7) 这个过程很简洁 -2×7=-14 -2+7=5 我们再来做几道类似的题目 争取把这个技能基础打得扎实 假设式子是x^2-x-56 两个数的乘积为-56 乘积是-56 它们两个必然一个为正 一个为负 且它们的差值是-1 我这时第一反应出的数字是 8×7=56 我不知道你是不是也有这样的反应 我们是刚在乘法表中学过这些倍数的 当然还有其他可能的数字 比方说28×2 还有很多 但是8×7总是第一时间在我脑海中浮现出来 它们的数值本身非常接近 我们需要真实的数据来证明它们是非常接近彼此的 其中一个必须是正数 另一个必须是负数 现在,看这个式子中两数之和为负 这说明数值更大的那个数是负的 因此如果我拿一个-8乘以7,那就等于-56 等于-56 那如果我们取的是-8和正7呢?那就等于 -1,刚好是这里的系数 因此当我进行分解时,这个就是(x-8) ×(x+7) 这是代数中通常来说比较难的一个概念 因为它很像一门艺术 你必须看到所有的因数 然后变换它们的正负号,看哪个是正的,哪个是负的 再把它们加起来 看是否等于x项的系数 但是再做更多练习的时候 你就会越来越熟练了 现在我们再把难度提高一点 假设我们有-x ^2 到目前为止,我们的二次项都是正的系数 都是正的1作为x^2的系数 但是我们这次就假设式子是 -x^2-5x+24 这题怎么做呢? 简便方法是全部项提出-1 然后就变得和 刚才的题目一样了 这和-1×(x^2+ 5x-24) 是一样的,对吧? 我刚才只是提取出了-1 你可以用-1乘以所有这些项 你就会看见式子变成了这样 或者你可以把-1提取出来 再用-1除以所有这些项 就得到了这个 现在,题目就和以前的情况一样了 我需要两个数字,它们的乘积 是-24 因此一个是正的,另一个必须是负的 当我计算和的时候,它就等于5 我们现在来想想哪些数对满足这样的条件 我们来看,如果是-1和24的话,这就是+23 如果是反过来的正负号,那就是-23 这是绝对不符合条件的 那么2和17怎么样呢? 如果这是负的 那么肯定有一个数是负的 如果2是负的, 那么它们的和就是10 但如果12是负的,那它们的和就是-10 还是不满足条件 3和8 如果3是负的,它们的和是5 它奏效了! 如果我们考虑的是-3和8,-3和8是满足条件的 因为-3+8=5 -3×8=-24 可别忘了 我们前面还有一个-1 -1×(x-3)×(x+8) 如果你真的想那样做 你可以用它乘以-1 就会得到3-x 当然你不需要那样做 我们再来做一道习题 练得越多越好 我有-x^2+18x -72 再强调一次,我喜欢把-1提取出来 这就等于-1×x^2 -18x+72 现在我们只需要想两个数字 它们的乘积是72 它们必须是同号的 这让计算过程在我脑子里简单多了 它们的乘积等于72 它们的和等于-18 如果它们同号,和又是负数 那么两个数都必须是负数 我们要把72所有的因数都列出来 首先跳出来的可能是8和9 但是-8-9或者-8+(-9) 都不符合条件 结果就变成了17 很接近,但不对 让我算出来你就知道了 -9+(-8)=-17 很接近,但不正确 那么还有哪一对呢? 我们还有6和12 这一对看着不错 如果用-6+(-12) 就得到了-18 注意,这可是门艺术 你必须尝试不同的因数 这个先要乘以-1,千万别忘了 再乘以(x-6)×(x-12)