极值定理

我们来一起思考一下极值定理， 这个定理看起来像是个常识， 但对于所有定理， 考虑极端情况都很有趣。 这个定理为什么这样表述？ 仔细辨析，可能就会让我们更深入的理解它。 极值定理是说 如果有一个函数，在一个闭区间上连续， 比如这个闭区间，从 a 到 b， 如果说的是闭区间， 那就是说包含端点 a 和 b。 所以要用方括号，而不是圆括号。 那么，在此区间内， 一定存在一个 f 的最大值，和一个最小值。 也就是说，一定存在—— 这个符号在逻辑上表示存在—— 在此区间内存在 f 的一个最大值， 和 f 的一个最小值。 我们来思考一下， 思考有助于理解这个定理。 你可能会问， 这么直观的概念需要写成一个定理吗？ 而且，为什么这里要求连续呢？ 我们马上就能看到， 为什么必须连续。 这是 x 轴，这是 y 轴。 我们画出这个区间， 从 a 到 b 的区间， 假设这个是 a，这个是 b， 假设这是 f(a)， 这是 f(a)。 假设这是 f(b)。 所以这个就是 f(b) 的值， 假设函数大概是这个样子， 假设函数在区间里 大概是这样的。 我这么画， 表示的是任意函数， 所以我画了一个连续函数。 我没有换画笔， 直接就画成这样了。 没事，至少你能看的清 我画的这个连续函数， 很明显，在区间内， 这个函数有一个最大值和一个最小值。 最小值点， 我们是在这里取到的，当 x 等于 假设这是 x 等于 c 点， 所以这是 f(c)。 区间内的最大值点应该是这个， 当 x 等于，我们设这里是 x 等于 d。 这里就是 f(d)， 这句话的另一种表述方式是， 如果 f 在区间内连续， 那么区间内存在点 c 和 d， 它俩是属于这个区间的， 满足—— 我在这里使用逻辑符号， 满足 f(c) 小于等于 f(x) 小于等于 f(d)， 对区间内所有 x 成立。 好的， 这也就是说，你看， 我们在 x 等于 c 点达到最小值， 就在这里， 在 x 等于 d 点达到最大值， 而区间内的所有其他 x 值， 都处于最小值和最大值之间。 首先，我们可以画别的连续函数， 我并不是要证明极值定理， 只想让你熟悉它， 并了解它为什么这样写。 你可以在这里画任何函数， 只要它在这个闭区间内连续。 如果是这个函数，那么最大值就在 b 点， 而最小值在 a 点。 一条水平线的函数也可以， 任何点都是它的最大值和最小值。 这个结论始终成立。 我们再深入的分析一下， 为什么 f 必须要连续， 为什么区间必须是闭的。 首先我们想想，为什么 f 要连续？ 我能很容易的构造出一个函数， 在闭区间上不连续， 并且不存在最大值或最小值点。 我建议你暂停视频， 自己试着构造一个这样的函数。 试着构造一个在闭区间上的不连续函数， 并且在区间内无法找到 函数的最小值或最大值点。 好我们看， 我来画出图像。 假如这里是我们的闭区间， 这里就是 a，这里是 b。 假如这个函数是这样的， 假如这个函数 在本来应该是最大值的地方， 函数没有定义。 然后在本该是最小值的地方， 函数也没有定义。 在这里，你可以说， 看，函数值是在趋近， 当 x 趋近于这个值时， 很明显， 函数值趋近于这个极限。 但这个极限不是最大值， 因为函数取不到这个值。 要是你说最大值是—— 比如这个值是 5， 要是你说最大值是 4.9， 那你还可以让 x 继续接近这个点， 这样 y 的值有可能就是 4.99，或者 4.999， 你永远都可以在后面加个 9， 所以，最大值不存在。 类似的，在最小值这里， 这样更清楚一些。 你可以一直接近这个点， 但最小值不存在。 比如这个值是 1， 你可以取到 1.1，或者 1.01，或者 1.0001， 在这两个 1 之间可以一直再加一个 0， 但就是取不到最小值。 现在我们思考一下， 为什么必须是闭区间。 一定要包含端点，是因为 有可能端点就是最大值或最小值点。 比如，如果是个开区间， 我们考虑开区间的情况， 有时我们要是想明确一点， 闭区间我们就用方括号表示， 而如果这里是开区间， 这是 a，这是 b。 我选一个很简单的函数， 比如这样的函数。 在这里，如果 a 在区间内， 那么我们就能在 a 点取到最小值， f(a) 就是最小值， 而 f(b) 本应该是最大值。 但我们的区间并不包含 a 和 b， 这是开区间， 你可以不断趋近 b， 越靠近函数值就越大， 但无法确定一个最大值， 因为我们不包含 b。 同样，x 离 a 越近， 函数值就越小， 但是我们并不包含 a。 所以 f(a) 就不是最小值。 所以，第一眼看去， 这个定理似乎显然成立， 但经过仔细分析， 我们明白了为什么 要有连续和闭区间这两个条件， 这种分析很有益处。