反正切函数求导

我们已经知道 tan x 关于 x 的导数， 等于 sec x 的平方， 也就是 cos x 平方分之 1。 而在这个视频中， 就像前几个视频一样， 我们要推导出反正切函数的导数， 具体来说，就是要推导出 x 的反正切函数对 x 的导数。 我还是鼓励你暂停视频， 试着用前两个视频中的思路， 来试试自己推导一下。 我们设 y 等于 x 的反正切函数， y 等于 x 的反正切， 这就等价于说，y 的正切， tan y 等于 x。 你也可以理解为 我们只是把两边同时进行正切运算， 然后我们在两边分别求导， 两边都对 x 求导。 左边，我们用链式法则， tan y 关于 y 的导数，就等于 sec 平方 y， 也就是 1 除以 cos y 的平方， 我喜欢这样写， 这种形式更简单， 至少在我脑中是这样， 继续链式法则，它等于 tan y 关于 y 的导数， 乘以 y 关于 x 的导数， 乘以 y 关于 x 的导数，右边呢？ 右边是 x 关于 x 的导数， 它就等于 1。 结果基本出来了， 我们需要的是 y 关于 x 的导数， 只需要两边同时乘以 cos y 的平方， 我们得到 y 关于 x 的导数 等于 cos y 的平方。 就像前几个视频一样， 到这一步我们并不满足， 因为推导出 y 关于 x 的导数 是一个 y 的函数， 但我们需要的是一个关于 x 的函数， 怎么办呢？ 我们可以把它变形成 tan y 的形式， 变成 tan y 又有什么用呢？ 因为我们都知道 tan y 就等于 x 嘛。 我们还是需要使用一些三角函数公式， 然后，如果变成 tan y 的形式 就能把 tan y 全都替换为 x， 我们来试试。 好像有点难度， 我们的目标是 tan y， 也就是需要一个正弦，除以一个余弦， 这也就是正切， 但现在只有 cos 平方 y， 看来确实需要动动脑子， 比前两个视频难度要大些， 现在我们能做的一件事， 是除以 1， 除以 1 不会有任何问题， 表达式仍然不会变， 仍然是 cos 平方 y， 我来试试， 看看这样能不能把表达式 变成某种除式， 比如 sin 除以 cos，这不就有 tan 了吗？ 所以，我们来除以 1， 但是，根据三角函数公式， 也就是根据勾股定理， 1 等于 sin 平方 y 加 cos 平方 y， 所以我们就写 cos 平方 y 加 sin 平方 y。 再问一遍，为什么能除以这个表达式？ 因为这个表达式， 根据勾股定理， 根据三角函数的定义， 它就等于 1， 因此除以它没有改变整个式子的值。 然后就有趣了， 我想要的是一个正弦除以余弦的形式， 那么分子分母同时除以 cos 平方， 似乎就很接近了， 我们来除， 乘以 cos 平方分之 1， 或者分子除以 cos 平方 y， 然后是分母，除以 cos 平方 y， 也可以说是都乘以 cos 平方分之 1， 然后得到什么？ 分子呢，都约去了， 就剩下 1， 分母呢，它乘以它， 也是约去了，等于 1， 然后这部分，是 sin 平方， sin 平方 y 除以， 除以 cos 平方 y， 这就是我们想要的呀， 这就有了正弦除以余弦的形式了， 所以这一部分， 它就等于， 我来这么写，更清楚一些， 它就等于 sin y 除以 cos y， 整个的平方，然后又等于， 1 除以 1 加 tan y， tan y 的平方， 它等于它。 这有什么好处呢？ 我们知道 x 就等于 tan y， 所以它就等于， 它等于 1 除以 1 加—— tan y 等于 x， 所以是 x 平方， 这个结果太棒了， 我们推导出了 y 关于 x 的导数， 也就是它关于 x 的导数 等于 1 除以 1 加 x 平方。 我把它写在上面， 它等于 1 除以 1 加 x 的平方，我们搞定了。