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课程: 高中几何 > 单元 8

课程 7: 圆周角

圆周角定理证明

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证明同一段弧截取的圆周角为其圆心角的一半。

入门

在我们开始证明之前，让我们先确保我们了解一些和圆有关的花哨术语

试一试这个简短的匹配练习，看看你能不能自己弄清楚这些术语是什么意思：

根据图像，将变量与术语匹配

1

干得好!我们将在之后的内容里使用这些术语。

将要证明的内容

我们将要证明当圆周角

(ψ)

与圆心角

(θ)

起始于同一个弧的时候很酷的事情会出现：圆心角的角度将会是圆周角的两倍。

θ = 2 ψ

证明概述

要证明

θ = 2 ψ

对于任意

θ

与

ψ

（如我们上面所定义的）都适用，我们必须考虑三种不同的情况：

案例A	案例B	案例C

加在一起，这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。

案例A：直径与中心角 $ψ$ ‍的一条铉重合。

步骤 1: 找出等腰三角形。

\overset{―}{B C}

和

\overset{―}{B D}

都是半径，因此它们长度相等。这就意味着

△ C B D

是等腰三角形，这也意味着它们的底角是相等的：

m ∠ C = m ∠ D = ψ

步骤 2：找出平角。

角

∠ A B C

是一个平角，所以

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

步骤 3: 写出并解决与 $ψ$ ‍相关的等式。

三角形

△ C B D

的内角分别是

ψ

，

ψ

和

(180^{\circ} - θ)

，我们知道任何三角形的内角和为

180^{\circ}

。

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

酷。我们已经完成了案例A的证明。还剩两种情况!

案例B：直径在圆周角 $ψ$ ‍两条铉之间。

步骤1：画出直径

根据直径，我们可以把

ψ

分成

ψ_{1}

和

ψ_{2}

同时把

θ

分成

θ_{1}

和

θ_{2}

，如下所示：

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

在我们的新图像中，圆被直径分成了两个半圆。每个半圆都有一个圆心角的铉与直径重合。这与案例 A 的情况相同，所以我们得出

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

和

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

根据我们在案例 A 中得到的结论。

步骤 3：把两个等式加起来。

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & (1) + (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & 把相关变量分组 \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} 和 ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

我们又解决了案例B。只剩最后一种情况了!

案例C：直径在圆周角的两条铉之外。

步骤1：画出直径

根据画出的直径，我们可以得到两个新角：

θ_{2}

和

ψ_{2}

，如下所示：

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

和我们在案例B中所做的相似，我们可以把案例A中的结论应用到画出的新图像上。根据这张图我们可以得到以下这些结论：

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

步骤3：代入公式并化简。

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

至此我们已经证明完毕！我们证明了

θ = 2 ψ

在三种情况下均成立。

证明小结

我们启程去证明当起始于同一个圆弧的时候，圆心角角度是圆周角的两倍。

我们通过建立三种不同的情况开始证明。加在一起，这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。

案例A	案例B	案例C

在案例A中，我们找到了一个等腰三角形和一个平角。由此，我们写出了一个关于

ψ

和

θ

的等式。佐以一些简单的代数，我们证明了

θ = 2 ψ

。

在案例B和C中，我们巧妙地引入了直径：

案例 B	案例 C

这使得我们有办法将案例A中的加以应用，这也正是我们所做的。在案例 B 和案例 C 中，我们写下了与图片中角度相关的等式，通过案例A的学习我们知道，这是唯一可行的方式。在我们建立了等式之后，通过一些代数计算我们得到

θ = 2 ψ

。

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高中几何

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入门

将要证明的内容

证明概述

案例A：直径与中心角 ψ‍ 的一条铉重合。

步骤 1: 找出等腰三角形。

步骤 2：找出平角。

步骤 3: 写出并解决与 ψ‍ 相关的等式。

案例B：直径在圆周角 ψ‍ 两条铉之间。

步骤1：画出直径

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

步骤 3：把两个等式加起来。

案例C：直径在圆周角的两条铉之外。

步骤1：画出直径

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

步骤3：代入公式并化简。

证明小结

想加入讨论吗？

案例A：直径与中心角 $ψ$ ‍的一条铉重合。

步骤 3: 写出并解决与 $ψ$ ‍相关的等式。

案例B：直径在圆周角 $ψ$ ‍两条铉之间。