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主要内容

高中几何

课程: 高中几何 > 单元 8

课程 7: 圆周角
数学
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圆周角
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圆周角定理证明

Google课堂
证明同一段弧截取的圆周角为其圆心角的一半。

入门

在我们开始证明之前，让我们先确保我们了解一些和圆有关的花哨术语
试一试这个简短的匹配练习，看看你能不能自己弄清楚这些术语是什么意思：
根据图像，将变量与术语匹配
1

干得好!我们将在之后的内容里使用这些术语。

将要证明的内容

我们将要证明当圆周角 left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis 与圆心角 left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis 起始于同一个弧的时候很酷的事情会出现：圆心角的角度将会是圆周角的两倍。
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

证明概述

要证明 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd 对于任意 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff 与 start color #11accd, \psi, end color #11accd （如我们上面所定义的）都适用，我们必须考虑三种不同的情况：
案例A案例B案例C
加在一起，这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。

案例A：直径与中心角 start color #11accd, \psi, end color #11accd的一条铉重合。

步骤 1: 找出等腰三角形。

start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline 和 start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline 都是半径，因此它们长度相等。这就意味着 triangle, C, B, D 是等腰三角形， 这也意味着它们的底角是相等的：
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

步骤 2：找出平角。

角 angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 是一个平角，所以
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

步骤 3: 写出并解决与 start color #11accd, \psi, end color #11accd相关的等式。

三角形 triangle, C, B, D 的内角分别是 start color #11accd, \psi, end color #11accd， start color #11accd, \psi, end color #11accd和 left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis，我们知道任何三角形的内角和为 180, degrees。
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
酷。我们已经完成了案例A的证明。还剩两种情况!

案例B：直径在圆周角 start color #11accd, \psi, end color #11accd两条铉之间。

步骤1：画出直径

根据直径，我们可以把 start color #11accd, \psi, end color #11accd 分成 start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd 和 start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd 同时把 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff 分成 start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff 和 start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff，如下所示：

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

在我们的新图像中，圆被直径分成了两个半圆。每个半圆都有一个圆心角的铉与直径重合。这与案例 A 的情况相同，所以我们得出
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
和
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
根据我们在案例 A 中得到的结论。

步骤 3：把两个等式加起来。

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(1) + (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)把相关变量分组θ=2ψθ=θ1+θ2 和 ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{(1) + (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{把相关变量分组} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ 和 } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
我们又解决了案例B。只剩最后一种情况了!

案例C：直径在圆周角的两条铉之外。

步骤1：画出直径

根据画出的直径，我们可以得到两个新角： start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 和 start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10，如下所示：

步骤 2：根据解决案例A的经验建立两个方程式。

和我们在案例B中所做的相似，我们可以把案例A中的结论应用到画出的新图像上。根据这张图我们可以得到以下这些结论：
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

步骤3：代入公式并化简。

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
至此我们已经证明完毕！我们证明了 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd 在三种情况下均成立。

证明小结

我们启程去证明当起始于同一个圆弧的时候，圆心角角度是圆周角的两倍。
我们通过建立三种不同的情况开始证明。加在一起，这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。
案例A案例B案例C
在案例A中，我们找到了一个等腰三角形和一个平角。由此，我们写出了一个关于 start color #11accd, \psi, end color #11accd 和 start color #7854ab, theta, end color #7854ab的等式。佐以一些简单的代数，我们证明了start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd。
在案例B和C中，我们巧妙地引入了直径：
案例 B案例 C
这使得我们有办法将案例A中的加以应用，这也正是我们所做的。在案例 B 和案例 C 中，我们写下了与图片中角度相关的等式，通过案例A的学习我们知道，这是唯一可行的方式。在我们建立了等式之后，通过一些代数计算我们得到start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd。

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