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主要内容

圆周角定理证明

证明同一段弧截取的圆周角为其圆心角的一半。

入门

在我们开始证明之前,让我们先确保我们了解一些和圆有关的花哨术语
试一试这个简短的匹配练习,看看你能不能自己弄清楚这些术语是什么意思:
根据图像,将变量与术语匹配
1

干得好!我们将在之后的内容里使用这些术语。

将要证明的内容

我们将要证明当圆周角 (ψ) 与圆心角 (θ) 起始于同一个弧的时候很酷的事情会出现:圆心角的角度将会是圆周角的两倍。
θ=2ψ

证明概述

要证明 θ=2ψ 对于任意 θψ (如我们上面所定义的)都适用,我们必须考虑三种不同的情况:
案例A案例B案例C
加在一起,这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。

案例A:直径与中心角 ψ的一条铉重合。

步骤 1: 找出等腰三角形。

BCBD 都是半径,因此它们长度相等。这就意味着 CBD 是等腰三角形, 这也意味着它们的底角是相等的:
mC=mD=ψ

步骤 2:找出平角。

ABC 是一个平角,所以
θ+mDBC=180mDBC=180θ

步骤 3: 写出并解决与 ψ相关的等式。

三角形 CBD 的内角分别是 ψψ(180θ),我们知道任何三角形的内角和为 180
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
酷。我们已经完成了案例A的证明。还剩两种情况!

案例B:直径在圆周角 ψ两条铉之间。

步骤1:画出直径

根据直径,我们可以把 ψ 分成 ψ1ψ2 同时把 θ 分成 θ1θ2,如下所示:

步骤 2:根据解决案例A的经验建立两个方程式。

在我们的新图像中,圆被直径分成了两个半圆。每个半圆都有一个圆心角的铉与直径重合。这与案例 A 的情况相同,所以我们得出
(1)θ1=2ψ1
(2)θ2=2ψ2
根据我们在案例 A 中得到的结论。

步骤 3:把两个等式加起来。

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(1) + (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)把相关变量分组θ=2ψθ=θ1+θ2 和 ψ=ψ1+ψ2
我们又解决了案例B。只剩最后一种情况了!

案例C:直径在圆周角的两条铉之外。

步骤1:画出直径

根据画出的直径,我们可以得到两个新角: θ2ψ2,如下所示:

步骤 2:根据解决案例A的经验建立两个方程式。

和我们在案例B中所做的相似,我们可以把案例A中的结论应用到画出的新图像上。根据这张图我们可以得到以下这些结论:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

步骤3:代入公式并化简。

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
至此我们已经证明完毕!我们证明了 θ=2ψ 在三种情况下均成立。

证明小结

我们启程去证明当起始于同一个圆弧的时候,圆心角角度是圆周角的两倍。
我们通过建立三种不同的情况开始证明。加在一起,这些案例总结了了所有圆心角与圆周角起始于同一个弧的情况。
案例A案例B案例C
在案例A中,我们找到了一个等腰三角形和一个平角。由此,我们写出了一个关于 ψθ的等式。佐以一些简单的代数,我们证明了θ=2ψ
在案例B和C中,我们巧妙地引入了直径:
案例 B案例 C
这使得我们有办法将案例A中的加以应用,这也正是我们所做的。在案例 B 和案例 C 中,我们写下了与图片中角度相关的等式,通过案例A的学习我们知道,这是唯一可行的方式。在我们建立了等式之后,通过一些代数计算我们得到θ=2ψ

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