使用矩阵变换多边形

我们已经试过 用一个变换矩阵变换一个点， 在这个视频中，我想做的是， 变换一系列的点。 所以，我有这些位置向量， P1，P2，和P3， 而且我已经把它们画在这里了。 你可以把它们想象为 向量组成的三角形， 它看起来像这样， （那是一条边，那是另一条边， 那是另一条边，就像那样） 我好奇的是， 如果我把这三个点都变换了，会发生什么？ 就像上个视频， 我可以将这个变换矩阵单独的 施加到每一点 看看它们会变换成什么， 或者，我可以用这个变换矩阵 乘上一个 由这三个位置向量组成的矩阵， 让我来这么做， 让我用我的变换矩阵， 让我复制，粘贴那个， 所以，复制，粘贴。 所以，我要用我的变换矩阵 我要用它乘以 一个矩阵，由这三个位置向量 组成的 这个矩阵的每一列 都是这三个位置向量的其中一个， 所以，第一个是2，1 然后是-2，0 然后是0，2. 所以，你可以这样看待它， 我们将用我们的变换矩阵， 我们将用它乘上 一个矩阵，由三个向量组成， 第一列是位置向量P1, 第二列是位置向量P2, 第三列是位置向量P3, 现在，我们将得到什么？ 嗯，这是一个2x2的矩阵。 我们把它乘上一个2x3的矩阵， 所以矩阵乘法是可行的，在这里。 因为这儿的列数目 等于这儿的行数目。 相乘的结果将是一个2x3的矩阵。 所以，将得到一个2x3的矩阵。 所以，2行，3列。 我们能把它看作 三个新的位置向量。 所以，将发生什么呢？ 让我们一步一步的来。 所以，第一项数字， 第一行，第一列， 是这一行乘以这一列， 所以 2x2 等于4， 加1加1，所以结果是4加上1 所以它将等于5. 让我把它写成不同的颜色。 -1乘以2等于-2. 加上2乘以1，结果是2， 也就是-2加上2，结果是0. 所以，我们可以看到 2，1被变换为5，0 1，2，3，4，5. 我们考虑到，这是向量P1， 把新的向量记作P1'， 是向量P1变换来的。 现在，我们来看P2， 2乘以-2，等于-4。 加1乘以0，结果是-4加0， 也就是-4. 然后-1乘上-2，等于2. 加上2乘上0，结果是0。 所以，它就是2加上0， 也就是2. 所以-4，2。负1，2，3，4，逗号，2. 就在这儿。 所以这是向量P2. 这是向量P2，在这儿。 这是向量P2'。 这是位置向量P2‘。 或者说，是由向量P2' 指定的位置。 最后，让我们看看向量P3. 所以我们有2乘上0， 等于0，加上1乘以2， 所以结果是0加上2，也就是2. 然后我们有-1乘以0，也就是0. 加上2乘以2，等于4. 所以，我们得到了一点，2，4. 所以，2，逗号，1，2，3，4 我们到了这儿， 所以，向量P3也就是变换到了这儿， 这是P3’。 所以，有趣的事情发生了。 我们现在有一些向量，你可以把它们 想象为一个新三角形。 一个看起来是这样的新三角形。 它看起来像是这样。 所以，你能想象的是， 实际上，让我把它画出来， 让我们把这个新的三角形画成蓝色的。 这样我们就能看的更清楚了。 所以，我们从那个更小的三角形， 我们从那个更小的三角形， 获得了更大的一个，这是更小的那个。 就在这儿。 那个是我们的更小的三角形， 到更大的三角形， 或者你可以这样想， 这整个三角形被变换了， 现在，我们只变换那些向量， 但结果却是， 我不是在证明这一点， 如果你变换， 如果你对这个三角形上的任意一点变换， 他会变换到 这个更大的三角形的对应一点。 很棒的地方是， 希望你已经开始感激 变换矩阵的能力 也希望你开始感激 它为什么有用，当你想到 电子游戏和动画， 因为变换矩阵 允许我们做的， 而这也是那些计算机程序 允许我们做的， 从不同的角度观看那些事物， 它们在背后所做的事情， 就是它们正在使用矩阵变换。 它们正在用矩阵乘上坐标， 为了得到新的坐标， 基于玩家的位置或者视角， 或者相机的位置和视角， 或者是计算机图形世界的虚拟相机， 所以，我想，这里还有些巧妙的地方， 是我们现在并不是仅仅变换了一个点， 我们刚才变换了三个点， 这三个点表示着三角形的向量， 并且，你可以看作是一种扩张， 和好像发生的旋转， 当我们使用这个变换矩阵， 如果我们使用一个不同的变换矩阵， 我们会得到不同的变换， 不仅仅是我们刚才做过的， 而且我们看到我们能 同时乘以多个位置向量， 我也能让它们单独的相乘， 然后会得到一样的结果， 希望 我开始向你展示了 矩阵的能力，和它为什么在一些事物上如此有用， 尤其是在计算机图形学和动画， 以及类似事物。