为什么我们可以在方程组中用一个方程减去另一个方程？

现在我们有个非常非常非常有趣的问题 在这个天平的左边，有两种未知重量的物体 这种 X 物体每个都一样重，我们将每个 x 物体的重量就记作 x 这里还有一种蓝色的 y 物体，y 物体的重量与 x 物体不一定相同。 这里有 2 个 x，一个 y。 由于天平是平的，因此它们重量的总和与天平右边的 8 个 1 kg 小方块相等。 这边的小方块每个都是 1 kg，重量与左边平衡。 所以我的第一个问题是，你能否用数学把这件事表述出来？ 如何描述我们见到的这个情况：这些重量与这些重量相平衡 如何用数学的方法描述出来？ 我们先想想在这边的总重量， 我们有两个 x 物体，合起来重量应该是 2x，然后还有一个 y 物体， 那么总重量应该还有一个 y，天平左边的总重量是，我重新写一下，写到中间， 这样就不会太分散。在天平左边，我有 2x 加上一个 y，这就是总重量。 左边的总重量是 2x 加 y 右边的总重量是 8。1，2，3，4，5，6，7，8，它等于 8 由于我们看到天平是平的，因此这个总重量就应该等于这个总重量。 我们可以在这里写个等号。 现在，我的问题是，从我们现在已知的信息，能否将 x 和 y 等于多少解出来？ 我们能做到吗？ 答案很简单，仅凭现在我们知道的信息，我们解不出来。 你也许会说：“等一下，我从两边同时拿走一个 Y 物体呢？”你可以把 y 物体拿走， 但如果你把这个 y 物体拿走了，你就得从这边也拿走一个 y 但你并不知道 y 是多少 从代数角度来说，你想要消去 y，这边减去 y，那这边也要减去 y。 因此你还是没有把 y 消去。 对于 x 也是一样，你没有足够多的信息。y 的值与 x 有关，x 的值与 y 有关。 幸好，地下还有好多这样的 x 和 y 物体。我捡起一个 x 物体， 把它放到这，然后再捡一个 y 物体，也放到这。 然后我一直在这边放 1 kg 的小方块，直到天平平衡为止。 我一直放小方块。显然这样是不行的，这边肯定会向下，因为另一边没放东西。 但是我会在右边一直加小方块，直到天平平衡。 我发现我在右边放 5 kg 的小方块时，天平平衡。 还是同样的问题，天平左边有一个 x 和一个 y，右边是 5 kg， 然后天平平衡，这个信息我们如何用数学表示出来？ 天平左边的总重量是 x 加 y。总重量是——我重写一下，把它写到靠中间的位置。 左边是 x 加 y，右边是 5 kg。 右边是 5 kg，天平是平衡的。因此我们知道着两边的重量一定相等。 如果单独是这个信息，我们还是什么都做不了，我们解不出 x 和 y。 如果 y 是 4，那么 x 是 1 如果 x 是 4，那么 y 是 1。那谁能知道它们是多少呢。 有趣的是，我们将这两个信息一起利用，就能解出 x 和 y 的值。 我给你几秒钟时间，自己想一想该如何解出答案。 可以这样考虑，我们知道 x 加 y 等于 5。 所以如果我们能从这边拿走一个 x 和一个 y，从这个方程的左边， 我们在方程右边该拿走多少？或者如果我们从这个天平左边拿走一个 x 和一个 y， 那么我们从天平的右边应该拿走多少重量，天平还能平衡呢？ 如果我们从左边拿走 x 和 y，而我们有知道 x 加 y 等于 5 kg 那么我们从右边就应该拿走 5 kg 我们来想想这么做之后会怎么样 这边我们只剩一个 x，右边应该剩下一些方块，我们就能知道 x 的重量了。 现在我们想想，刚才这些步骤怎么用代数的方法表示出来。 实际上我们是从左边拿走一个 x 和一个 y， 我拿走一个 x，我们这样考虑，我是减掉了 x 加 y，左边减掉了 x 加 y。 然后我在右边该怎么办？ 一个 x 和一个 y 总重量为 5，所以我们从右边减掉 5。 我们能这么做，是因为第二个天平给我们的信息。 所以我能减去 5。这个等于减去 5，减去一个 x 和一个 y 等于减去 5。 我们知道一个 x 和一个 y 加起来重 5 kg 我们从左边拿走一个 x 和一个 y，我们剩下什么？ 我来重写一下。 拿走一个 x 和一个 y，如果你把负号分配进去，就等于拿走一个 x 再拿走一个 y。 所以在左边，我们的 2x 拿走了一个 x，只剩下一个 x， 我们之前的 y，因为拿走了，所以就没剩下 y 了。 图里看得更清楚，我们只剩下一个 x。 右边我们剩下什么？ 我们原本有 8，x 加 y 等于 5，为了保持天平平衡 我们拿走了 5。8 减 5 等于 3。 8 减 5 等于 3，这样的话，我们使用了新的信息，解出 x 的重量等于 3。 最后一个问题，我们已经算出 x 的重量，你能计算出 y 的重量吗？ 我们可以回到任何一个天平来计算，当然用这个天平比较简单。 我们知道 x 和 y 的重量之和是 5，现在我们又知道了 x 的重量是 3， 我们现在知道了它的重量是 3 kg。代入之后变为 3 加 y 等于 5 现在，我们可以从两边同时拿走 3， 如果我从左边拿走 3，我就必须也从右边拿走 3，这样才会保持平衡。 左边剩下 y，它与右边的 2 平衡，也就是说，y 等于 2 从方程的两边也可以都“拿走” 3，左边剩下 y，右边剩下 2。 所以，x 等于 3 kg，y 等于 2 kg。现在，我鼓励你在这里将答案验证一下。 计算一下最开始的天平左边的总重量 验证这个总重量加起来能不能与右边的 8 kg 相平衡。 2x 是 6 kg，加上 y 是 2 kg，因此可以与 8 kg 相平衡。 然后 3 加 2 等于 5。