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主要内容
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抛射物体的最佳角度第4部分:用一点点微积分来计算最佳角度和飞行距离。

视频字幕

既然我们有了距离是物体初射角度 的函数 我们可以用微积分来算出最佳角度 让距离最大的角度 因为我们只关心从0度到90度的角 限制在这个范围上 所以我们要找出0度和90度之间最好的值 设θ是一个大于等于0度 小于等于90度的角 所以我们看一下怎么做 只是为了了解 我们怎么用微积分解题 记住 当求导数 就是求斜率 一条线的瞬时斜率 如果要画出来 我鼓励你们自己画出来 或许用图形计算器 它可能看起来像在这个区间里 它看起来会像是这样 这是距离 是θ的函数 这是θ轴 我们关心的是0到90度的角 所以如果要把它画出来 这是0度 这里可能是90度 这个函数的图像看起来像这样的 它看起来应该是像这样的 它看起来应该是像这样的 我们要做的找出一个角 能抛出最远距离的角 所以这是 在这里 这是最远的距离 所以我们要做的是找出这个角 当你们看一下图像 如果愿意 你们可以在图像计算器上做 在最佳距离处 瞬时斜率是多少? 它是平的 这里的斜率是0 所以我们要做的是求这个函数的导数 然后只要算出 在哪个角度 这个函数的导数或瞬时斜率等于0 然后就做完了 我们就知道了这个神秘的角 这个最合适把物体弹射出去的角 所以我们求导数 导数 只要用函数求导法则 导数 我猜应该把这叫做d' 或者可以说距离对θ的导数 等于 我们假设s和g是常数 所以现在就不用管它们了 我们可以把它们放到前面 因为我们假设它们是常数 然后可以用求导法则 来求这部分对θ的导数 在乘积求导法则里 我们用第一个函数的导数 乘以第二个函数 所以cosθ的导数等于-sinθ 我们用这个乘以第二个函数 所以它乘以sinθ 然后加上第一个函数 就是cosθ乘以第二个函数的导数 sinθ的导数是cosθ 我知道这有点令人迷惑 我们所做的就是 用第一部分的导数乘以第二部分 然后用第二部分的导数乘以第一部分 我让这更加明确一点 我们求了这个式子的导数 所以这就是对θ的导数 我们求了这个对θ的导数 我们求cos的导数然后乘以sin 求sin的导数然后乘以cos 这只是求导法则 现在 这算出来是什么? 我们可以化简一下 所以可以把d'写成等于 常数不变写到这里 2s方除以g 乘以 -sinθ乘以sinθ 这就是负sinθ的平方 然后 cosθ乘以cosθ 就是加cosθ的平方 现在 我们刚说的是 我要求出一点 这一点的导数或瞬时斜率等于0 所以让这些等于0 所以现在我们只要求出θ 现在 要求出θ首先要做的是 两边除以2s方除以g 如果左边除以它 这和2s方除以g消掉了 如果0除以它 假设这不是0 它不应该是0 然后还得到0 所以这个方程化简成 我用蓝色写 -sinθ的平方加cosθ的平方 等于0 现在 如果方程两边加上sinθ的平方 两边加上sinθ的平方 就剩下了- 这些消掉了 cosθ的平方等于sinθ的平方 现在 在这个范围内 两者都是正的 所以我们只要取 两者的正平方根 或方程两边求主根 我们做一下 所以方程两边取主根 你们可以这么做 实际上 一个比这种方法更有趣的方法是 方程两边除以cosθ的平方 假设在这个范围内 它不等于0 所以cosθ的平方 你们也可以用正平方根做 主根 任何一个都是可行的 但是这很有趣 因为左边变成了1 1就等于 sinθ的平方除以cosθ的平方是什么? 这就相当于 sinθ除以cosθ的平方 一个平方除以另一个平方 这就相当于分子除以分母 然后整体的平方 sinθ除以cosθ是多少? 就是tanθ 所以就得到1等于tanθ的平方 或者 我们可以方程两边 取主根 tan在0到90度这个范围内是正的 所以这种方法很酷 如果两边取正平方根 就得到1的正平方根等于1 1等于tanθ 然后两边求tan的反函数 或者是arctan 就得到arctan1等于θ 这是一种求出θ这个角的神奇方法 如果求它的正切 得到1 你们可以用计算器来求出它 或者你们可能还记得 这个θ arctan1等于45度 或者如果你们要求出弧度 就是π/4弧度 任何一个都是可以的 所以当我射出物体 最佳的角度就是45度 现在 当初射角度是45度 这个最长的距离是多少? 我们可以回到原来的公式中 我们只要回到原来导出的公式中 如果初射角度是45度 sin45度是多少? sin45度等于根2除以2 你们可以用计算器算出来 或者你们从单位圆中算出 cos45度也是根2除以2 实际上 如果只要求 这个方程的主根 就得到这个范围内 cosθ等于sinθ 只在45度的时候是成立的 但是有了这些 我们可以把这代回原来的表达式 或原来的函数中 所以飞行的最佳距离是 距离的函数 以45度角出射的飞行距离 等于2s方除以g乘以cosθ 就是根2除以2 cos45等于根2除以2乘以sinθ 就是根2除以2 根2乘以根2是多少? 就是2 我们化简一下 所以根2乘以根2 等于2 这个2和这个2约掉了 然后 这个2和这个2约掉了 所以最好的出射角度是45度 所有剩下的是s方除以g 假设没有空气阻力 一种理想环境下 不管在哪个星球上 不管多快 如果没有空气阻力 最好的角总是45度 如果用最好的角度射出 飞行距离就是s方除以g 回到原来的问题中 如果s是10m/s 我们设s是10m/s 假设我们的环境里 重力加速度等于10m/s^2 然后根据我们算出的 最佳距离就是s方- 所以它是100 除以重力加速度 是10 如果求m/s的平方 就会得到m^2/s^2 除以重力加速度 m/s^2 秒的平方约掉了 就有m的平方除以m 最佳距离应该是10米 很不错