证明：可导性意味着连续性

在这期视频中， 我将会证明假如一个函数 在某一点C可导， 那么它在点C也将是连续的。 不过，在开始证明之前，让我们先回顾一下 “可导”和“连续”分别意味着什么。 首先是“可导”。 “可导” 让我们先考虑 为了方便说明，让我们先画一个 函数图象。 这是y轴， 这是x轴。 再画一个函数图象。 比方说，我们的函数长这样。 我们关心自变量等于c的这个点， 假设它在这里。 此处x等于c。 相应的函数值， 也就是f(c)。 f(c) 我们可以这样计算该函数在x=c处的导数， 或者说在x=c处函数图象切线的斜率： 我们可以从另一个点出发， 比方说，此处的任意点x。 我们另取一个任意点x， 相应的函数值， 相应的y值，也就是f(x)。 也就是f(x)。 而这整个图象，当然就是函数y=f(x)的图象。 我们可以衡量这条线， 这条连接上述两点的割线的斜率。 然后，我们可以让x趋近于c。 此时，这条割线的斜率， 将会趋近于 点c处的切线的斜率， 也就是点c处的导数。 让我们把它写成一个极限： 当x趋近于c， 当x趋近于c时， 这条割线的斜率。 这个斜率应该怎么衡量？ 它应该等于y的变化量除以x的变化量。 y的变化量等于f(x) - f(c)， 这是此处y的变化量。 这些内容都是复习， 这是导数的一种定义，或者说一种解读方式。 所以，分子是f(x) - f(c)， 这是y的变化量。 分母是x的变化量，也就是x - c。 分母是 x - c。 所以，假如这个极限存在，那我们就能求得 此处函数图象切线的斜率， 我们把这条切线的斜率， 称为该函数在x = c处的导数。 我们把它记作f'， f'(c)。 这些都是复习。 所以，假如我们说 某个函数F 在x = c处可导， 也就相当于说 此处的极限是存在的。 假如这个极限存在， 我们就称它为f'(c)。 好了，关于“可导”的复习到此结束。 接下来我们来复习“连续”。 “连续” 所谓函数“连续”，指的是 当x趋近于c时，f(x)的极限 等于f(c)。 你或许会觉得 这是显然成立的， 我们为什么要专门定义它？ 为了做直观的说明， 让我们来画几个函数图象。 所以，假如你有一个函数… 让我们先来举几个 函数不连续的例子。 这可能会让事情变得更清楚一些。 假如该函数在x = c处不连续， 比方说，在x = c处， 有一个不连续点。 让我把它画成这样。 在 x = c 处有一个不连续点， f(c)突然跳到了上面， f(c)在这儿， 然后，函数剩余的部分从原处继续延申。 当x趋近于c时，函数f(x)的极限 将会等于这个值， 它显然不等于f(c)。 此处的这个值， 当x趋近于c时， f(x)将会趋近于这个值。 所以当x趋近于c时， f(x)的极限在这儿，它并不等于f(c)。 我们刚才对函数连续性的定义 看上去是合理的。起码在这个例子中， 在这个具有不连续点的 非连续函数的例子中， 我们针对函数连续性的定义， 能够成功地判定出 这不是一个连续函数。 我们还可以再举一个阶跃不连续的例子。 我们来看一个阶跃不连续的例子。 让我们另画一个函数图象。 作为复习， 我们来画一个在x=c处 存在阶跃不连续的函数。 它的图象长这样。 x = c在此处。 这里对应x = c。 这里对应f(c)。 接着，当你试图衡量x趋近于c时， f(x)的极限的时候， 你会得到两个不同的值。 当你从负方向趋近于c时，函数会趋近于这个值。 当你从正方向趋近于c时， 函数会趋近于f(c)。 所以，在这种阶跃不连续的情况下， 上述极限并不存在。 于是我们刚才针对连续性的定义 再一次成功地判断出了该函数 在此处并不连续，因为定义中的极限根本就不存在。 最后，我们甚至可以再看一个 再看一个真正连续的函数。 让我们来画一个真正连续的函数图象。 比方说， 像这样。 x = c在此处。 这里是f(c)。 这对应f(c)。 现在假如你要求x趋近于c时该函数的极限， 无论从哪个方向趋近于c， 函数值均趋近于f(c)。 于是，对这个函数而言， x趋近于c时f(x)的极限，的确就等于f(c)。 对连续函数而言，这是很自然的。 好了，关于“可导”与“连续”的复习 到此为止。 接下来让我们来证明 “可导”也就意味着“连续”。 我认为刚才的复习是有必要的， 为了保证你能有一个清晰的图像。 根据刚才的定义，可导意味着 这个极限是存在的。 让我们从一个略有不同的极限出发。 让我先在这儿画一条分隔线， 以示区分。 让我们来考虑， 当x趋近于c时， f(x) - f(c)， f(x) - f(c)的极限。 我们可以对这个式子做点变形， 我们可以把它重写成 另一个当x趋近于c时的极限。 我们可以对这个式子先乘上x - c， 再除以x - c。 让我们先乘上x - c。 再除以x - c。 这里写f(x) - f(c)， 除以x - c。 好了，先乘再除x - c， 原式值不变。 那么这个式子的极限应该等于什么呢？ 它应该等于， 如果我们运用极限的运算性质， 根据极限的运算性质， 积的极限等于 极限的积。 所以，它应该等于当x趋近于c时x - c的极限， 乘以，让我加个括号， 乘以当x趋近于c时， f(x) - f(c) 除以x - c的极限。 这第二个极限看上去是不是有点眼熟？ 如果我们假设函数F在x = c时可导。 实际上我们应该这么假设。 让我补充在这里。 因为我们本来就是要证明 “可导”意味着“连续”。 如果我们假设函数F可导， 在x = c处可导，那么， 此处的这个极限也就等于f'(c)。 这一点我们刚才已经阐述过了。 这两个式子一模一样。 这就是f'(c)。 而剩下的这个极限呢？ 当x趋近于c时x - c的极限？ 它其实就等于0。 当x趋近于c时，这个式子将趋近于 c - c，也就是0。 0乘以f'(c)等于多少？ f'(c)等于某个有限的值， 而0乘以任何值都等于0。 于是经过一番推导，我们最终得到了0。 这结论对我们有什么好处？ 我们刚刚 在函数F在x = c处可导的前提下， 得到这个极限等于0。 也就是说，假如函数F在x = c处可导， 就应该有， 当x趋近于c时， f(x) - f(c)的极限， 为了跟刚才的式子更为一致， 我可以在这里加一个括号， 这极限就等于0。 这是我们刚得到的结论。 接下来再次使用极限的性质， 这个等式也就相当于， 让我另起一行， 写在下面。 当x趋近于c时f(x)的极限， 减去，当x趋近于c时f(c)的极限， 结果等于0。 这里我们使用的性质是： 差的极限等于极限的差。 这第二个极限应该等于多少？ f(c)是一个常数， 它不再是x的函数， f(c)是一个确定的函数值。 所以，这个极限就等于f(c)。 就等于f(c)。 也就是说，当x趋近于c时f(x)的极限， 减去f(c)等于0。 最后，在等式两侧同加上f(c)， 我们就得到了当x趋近于c时f(x)的极限， 就等于f(c)。 这正是函数连续性的定义。 当x趋近于c时该函数的极限， 就等于该函数在x = c时 的函数值。 这也就意味着我们的函数是连续的。 在x = c处是连续的。 让我们来回顾一下。 我们首先假设函数f在x = c处是连续的， 我们基于此前提衡量了这个极限， 并得出了它的值为0。 在这个极限的值为0的基础上， 用一点简单的代数变形， 以及极限的性质， 我们得出了当x趋近于c时，f(x)的极限 就等于f(c)， 而这正是函数连续性的定义。 更具体地说，是在x = c处连续。 希望上面的说明已经足够清楚了。 总而言之，若已知函数在某个点存在导数， 或者说函数在点C处可导， 那也就意味着它在点C一定也是连续的。 该函数在那个点一定也是连续的。