含定积分的𝘶-代入法

对定积分使用 $u$‍ 换元法和对不定积分使用这种方法非常相似，仅需要多一个步骤：算上积分的上下限。让我们用下面的例子来看看这意味着什么：${\displaystyle {\int }_1^{2}2x(x^2+1{)}^{3}dx}$‍。

我们可以注意到，$2x$‍ 就是 $x^2+1$‍ 的导函数，所以我们就可以用 $u$‍ 换元法。我们先使 $u=x^2+1$‍，那么 $du=2xdx$‍。现在我们就将其替换为了：

等一下，这个积分的范围是对于 $x$‍ ，而不是 $u$‍ 来说的！让我们从图形的角度想一下。我们想要曲线 $y=2x(x^2+1{)}^3$‍ 在 $x=1$‍ 与 $x=2$‍ 之间的面积。

而现在我们已经将曲线换成了 $y=u^3$‍，那么这个上下限为什么会保持不变呢？

实际上，这个上下限也不应该保持不变。为了找到新的上下限，我们需要在 $x=1$‍ 与 $x=2$‍ 时找到 $u$‍ 相对于 $x^2+1$‍ 的值：

现在，我们就可以使用 $u$‍ 换元法了：

从现在起，我们就可以使用 $u$‍ 来解决其他的所有问题了：

记住：当我们对定积分使用 $u$‍ 换元法时，必须要将积分的上下限纳入考虑。