If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

含定积分的𝘶-代入法

对定积分使用 u 换元法和对不定积分使用这种方法非常相似,仅需要多一个步骤:算上积分的上下限。让我们用下面的例子来看看这意味着什么:122x(x2+1)3dx
我们可以注意到,2x 就是 x2+1 的导函数,所以我们就可以用 u 换元法。我们先使 u=x2+1,那么 du=2xdx。现在我们就将其替换为了:
122x(x2+1)3dx=12(u)3du
等一下,这个积分的范围是对于 x ,而不是 u 来说的!让我们从图形的角度想一下。我们想要曲线 y=2x(x2+1)3x=1x=2 之间的面积。
函数y=2x(x2+1)3的图形画好了。 x轴从0到3。图形是一条曲线。 曲线从第2象限开始,从x轴向上移动到(2,500)。 在x轴、曲线以及x = 1与x = 2之间被围住的区域涂上了阴影。
而现在我们已经将曲线换成了 y=u3,那么这个上下限为什么会保持不变呢?
函数y=2x(x2+1)3y=u3 一起制图。y=u3的图形始于第2象限,远离x轴向上移动,在大约(3,27)结束。
y=2x(x2+1)3y=u3 都被画出来了。我们可以发现,两个曲线下的面积在 x=1x=2 (或 u=1u=2)之间的大小差别非常大。
实际上,这个上下限也不应该保持不变。为了找到新的上下限,我们需要在 x=1x=2 时找到 u 相对于 x2+1 的值:
  • 下限:(1)2+1=2
  • 上限:(2)2+1=5
现在,我们就可以使用 u 换元法了:
122x(x2+1)3dx=25(u)3du
y=2x(x2+1)3y=u3 一起都被画出来了。x轴从负1到6。每个图形都远离x轴向上移动。 第一个函数在(2,500)处结束。 阴影之间的曲线和x轴之间的区域x = 1和x = 2。 第二函数在大约(6,210)处结束。 阴影和x轴之间的曲线位于x = 1和x = 5之间。 2个阴影区域的大小相似。
y=u3u=2u=5 之间的图像已经画出来了。现在,我们就可以看到,阴影部分的面积看起来大致相同(他们的大小实际上完全相同,但是我们很难只用眼睛看出来)。
从现在起,我们就可以使用 u 来解决其他的所有问题了:
25u3du=[u44]25=544244=152.25
记住:当我们对定积分使用 u 换元法时,必须要将积分的上下限纳入考虑。
问题1
小爱需要求出 15(2x+1)(x2+x)3dx。下面是她的步骤:
步骤 1:使 u=x2+x
步骤 2du=(2x+1)dx
步骤 3
15(2x+1)(x2+x)3dx=15u3du
步骤 4
15u3du=[u44]15=544144=156
小爱的步骤正确吗?如果不正确,她的问题在哪?
选出正确答案:

问题2
1215x2(x37)4dx=?
选出正确答案:

还想再练练? 做做看 这个练习.

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.