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课程: 多变量微积分 > 单元 2

课程 3: 对向量值函数求导 (文章)

向量值函数的导数

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如何计算, 更重要的是如何解释, 具有向量输出的函数的导数.

背景知识

我们要做什么

要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数：
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

向量函数的导数

好消息！计算向量函数的导数并不是什么新鲜事。因此，这篇文章相当短。这篇文章的重点是理解向量导数。

让我们从一个例子开始

让我们从一个相对简单的向量函数

\vec{s} (t)

开始，它只有两个分量，

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

要找到向量函数

\vec{s} (t)

的导数，需要找到每个分量的导数：

$\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (t) & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (2 \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (2 \cos (t / 3)) t \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \cos (t / 3) - \frac{2}{3} \sin (t / 3) t \end{array}] \end{aligned}$ ‍

你也可以把导数写作

{\vec{s}}^{'} (t)

。这个导数是一个新的向量函数，和

\vec{s}

一样有同样的

t

输入，并且输出会有同样的维数。

更广泛的说，如果我们把

\vec{s}

写做

x (t)

和

y (t)

的分量，我们可以把导数写做：

$\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

导数给予了一个速度向量。

对于上面的例子，我们要怎么样想象导数的含义？首先，要可视化

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

我们注意到输入的维数比输入的维数多，因此很是被看作是参数方程.

曲线上的每个点代表着向量的尖端

[\begin{matrix} 2 \sin (t_{0}) \\ 2 \cos (t_{0} / 3) t_{0} \end{matrix}]

在一个特定的点

t_{0}

。例如，当

t_{0} = 2

时，我们找到一个向量点

\begin{array}{r} \vec{s} (2) = [\begin{array}{c} 2 \sin (2) \\ 2 \cos (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \approx [\begin{array}{c} 1.819 \\ 3.144 \end{array}] \end{array}

当我们对所有可能的输入值

t

计算时，这个向量点

\vec{s} (t)

会画出一条特别的曲线：

当我们代入一些

t

值，例如

2

到导数是，我们会得到什么？

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (2) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (2) \\ 2 \cos (2 / 3) - \frac{2}{3} \sin (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \\ \approx [\begin{array}{c} - 0.832 \\ 0.747 \end{array}] \end{aligned}

这也是一个二维向量。

当导数向量在原点时，我们很难理解它代表着什么。但是如果我们将它移动并使其与向量

\vec{s} (2)

交叠，它的含义将更容易解释：

如果 $\vec{s} (t)$ ‍代表粒子的位置为时间的函数， $\frac{d \vec{s}}{d t} (t_{0})$ ‍是粒子在时间 $t_{0}$ ‍时的速度向量。

特别的，这代表着向量的方向与曲线相切，并且它的大小代表着

t

在以恒定速度增加时（就像时间倾向这样做一样）粒子的移动速度。

概念检查：假设粒子在二维空间中的位置，作为时间的函数，是由以下函数给出的

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{3} \end{array}] \end{array}

\frac{d \vec{s}}{d t}

是什么？

在时间

t = 3

时，粒子的速度是多少？

总结

要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数。
如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

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