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多变量微积分

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课程 3: 对向量值函数求导 (文章)

向量值函数的导数

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如何计算, 更重要的是如何解释, 具有向量输出的函数的导数.

背景知识

我们要做什么

要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数：
$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

向量函数的导数

好消息！计算向量函数的导数并不是什么新鲜事。因此，这篇文章相当短。这篇文章的重点是理解向量导数。

让我们从一个例子开始

让我们从一个相对简单的向量函数 start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis开始，它只有两个分量，

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

要找到向量函数 start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis的导数，需要找到每个分量的导数：

$\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}(2 \sin(t)) \\ \frac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2 \cos(t/3) - \frac{2}{3}\sin(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

你也可以把导数写作 start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis。这个导数是一个新的向量函数，和start bold text, s, end bold text, with, vector, on top一样有同样的t输入，并且输出会有同样的维数。

更广泛的说，如果我们把start bold text, s, end bold text, with, vector, on top写做x, left parenthesis, t, right parenthesis和y, left parenthesis, t, right parenthesis的分量，我们可以把导数写做：

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

导数给予了一个速度向量。

对于上面的例子，我们要怎么样想象导数的含义？首先，要可视化

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

我们注意到输入的维数比输入的维数多，因此很是被看作是参数方程.

曲线上的每个点代表着向量的尖端

\left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right]

在一个特定的点t, start subscript, 0, end subscript。例如，当t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2时，我们找到一个向量点

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(2) \\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1.819 \\ 3.144 \end{array} \right] \end{aligned}

当我们对所有可能的输入值t计算时，这个向量点start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis会画出一条特别的曲线：

当我们代入一些t值，例如2到导数是，我们会得到什么？

\begin{aligned} \quad \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\ 2 \cos(2/3) - \frac{2}{3}\sin(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0.832 \\ 0.747 \end{array} \right] \end{aligned}

这也是一个二维向量。

当导数向量在原点时，我们很难理解它代表着什么。但是如果我们将它移动并使其与向量 start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis 交叠，它的含义将更容易解释：

如果start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis代表粒子的位置为时间的函数，start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis是粒子在时间t, start subscript, 0, end subscript时的速度向量。
导数是与曲线相切的速度向量。

特别的，这代表着向量的方向与曲线相切，并且它的大小代表着t在以恒定速度增加时（就像时间倾向这样做一样）粒子的移动速度。

概念检查：假设粒子在二维空间中的位置，作为时间的函数，是由以下函数给出的

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}

start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction是什么？

(选择 A)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 3t^2 \\ 2t \end{array} \right] \end{aligned}$
(选择 B)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2t \\ 3t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$
(选择 C)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} t \\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$

[答案]

在时间t, equals, 3时，粒子的速度是多少？

(选择 A)
square root of, 6, squared, plus, 27, squared, end square root, approximately equals, 27, point, 659
(选择 B)
6, squared, plus, 27, squared, equals, 765

[答案]

总结

要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数。
如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

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