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课程: 多变量微积分>单元 2

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向量值函数的导数

我们要做什么

• 要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数：
$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ y\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\left(t\right)\\ {y}^{\prime }\left(t\right)\end{array}\right]\end{array}$
• 如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

让我们从一个例子开始

$\begin{array}{r}\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}2\mathrm{sin}\left(t\right)\\ 2\mathrm{cos}\left(t/3\right)t\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rl}\frac{d\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}}{dt}\left(t\right)& =\left[\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(2\mathrm{sin}\left(t\right)\right)\\ \frac{d}{dt}\left(2\mathrm{cos}\left(t/3\right)\right)t\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}2\mathrm{cos}\left(t\right)\\ 2\mathrm{cos}\left(t/3\right)-\frac{2}{3}\mathrm{sin}\left(t/3\right)t\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{r}{\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}}^{\prime }\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\left(t\right)\\ {y}^{\prime }\left(t\right)\end{array}\right]\end{array}$

导数给予了一个速度向量。

$\begin{array}{r}\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}2\mathrm{sin}\left(t\right)\\ 2\mathrm{cos}\left(t/3\right)t\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{r}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}\left(2\right)=\left[\begin{array}{c}2\mathrm{sin}\left(2\right)\\ 2\mathrm{cos}\left(2/3\right)\cdot 2\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.819\\ 3.144\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rl}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\frac{d\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}}{dt}\left(2\right)& =\left[\begin{array}{c}2\mathrm{cos}\left(2\right)\\ 2\mathrm{cos}\left(2/3\right)-\frac{2}{3}\mathrm{sin}\left(2/3\right)\cdot 2\end{array}\right]\\ & \approx \left[\begin{array}{c}-0.832\\ 0.747\end{array}\right]\end{array}$

• 如果$\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}\left(t\right)$代表粒子的位置为时间的函数，$\frac{d\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}}{dt}\left({t}_{0}\right)$是粒子在时间${t}_{0}$时的速度向量。

$\begin{array}{r}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{t}^{2}\\ {t}^{3}\end{array}\right]\end{array}$
$\frac{d\stackrel{\to }{\mathbf{\text{s}}}}{dt}$是什么？

总结

• 要找到向量函数的导数，需要找到每个分量的导数。
• 如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数，导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。