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主要内容

向量值函数的导数

如何计算, 更重要的是如何解释, 具有向量输出的函数的导数.

我们要做什么

  • 要找到向量函数的导数,需要找到每个分量的导数:
    ddt[x(t)y(t)]=[x(t)y(t)]
  • 如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数,导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

向量函数的导数

好消息!计算向量函数的导数并不是什么新鲜事。因此,这篇文章相当短。这篇文章的重点是理解向量导数。

让我们从一个例子开始

让我们从一个相对简单的向量函数 s(t)开始,它只有两个分量,
s(t)=[2sin(t)2cos(t/3)t]
要找到向量函数 s(t)的导数,需要找到每个分量的导数:
dsdt(t)=[ddt(2sin(t))ddt(2cos(t/3))t]=[2cos(t)2cos(t/3)23sin(t/3)t]
你也可以把导数写作 s(t)。这个导数是一个新的向量函数,和s一样有同样的t输入,并且输出会有同样的维数。
更广泛的说,如果我们把s写做x(t)y(t)的分量,我们可以把导数写做:
s(t)=[x(t)y(t)]

导数给予了一个速度向量。

对于上面的例子,我们要怎么样想象导数的含义?首先,要可视化
s(t)=[2sin(t)2cos(t/3)t]
我们注意到输入的维数比输入的维数多,因此很是被看作是 参数方程.
曲线上的每个点代表着向量的尖端[2sin(t0)2cos(t0/3)t0] 在一个特定的点t0。例如,当t0=2时,我们找到一个向量点
s(2)=[2sin(2)2cos(2/3)2][1.8193.144]
s(2)的向量
当我们对所有可能的输入值t计算时,这个向量点s(t)会画出一条特别的曲线:
当我们代入一些t值,例如2到导数是,我们会得到什么?
dsdt(2)=[2cos(2)2cos(2/3)23sin(2/3)2][0.8320.747]
这也是一个二维向量。
dsdt(2)的向量
当导数向量在原点时,我们很难理解它代表着什么。但是如果我们将它移动并使其与向量 s(2) 交叠,它的含义将更容易解释:
  • 如果s(t)代表粒子的位置为时间的函数,dsdt(t0)是粒子在时间t0时的速度向量。
    导数是与曲线相切的速度向量。
特别的,这代表着向量的方向与曲线相切,并且它的大小代表着t在以恒定速度增加时(就像时间倾向这样做一样)粒子的移动速度。
概念检查: 假设粒子在二维空间中的位置,作为时间的函数,是由以下函数给出的
s(t)=[t2t3]
dsdt是什么?
选出正确答案:

在时间t=3时,粒子的速度是多少?
选出正确答案:

总结

  • 要找到向量函数的导数,需要找到每个分量的导数。
  • 如果将初始函数理解为粒子的位置作为时间的函数,导数会给予该粒子的速度向量作为时间的函数。

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