当均值误差范围给定时, 如何确定样本大小

【讲师】小N希望建立一个置信区间 来估测她公司的新型电动汽车的平均行驶距离 来估测她公司的新型电动汽车的平均行驶距离 她希望在90%的置信水平下，误差范围不超过10公里 她希望在90%的置信水平下，误差范围不超过10公里 一项初步研究表明，这类车辆的行驶距离的标准偏差为15公里 一项初步研究表明，这类车辆的行驶距离的标准偏差为15公里 一项初步研究表明，这类车辆的行驶距离的标准偏差为15公里 下列哪个选项是获得期望误差范围所需的最小近似样本量？ 下列哪个选项是获得期望误差范围所需的最小近似样本量？ 好，暂停视频，自己独立思考一下 好，暂停视频，自己独立思考一下 传统的方法是，构建置信区间内的误差范围 传统的方法是，构建置信区间内的误差范围 我们从样本中构造均值 然后在均值上加减误差范围，来构建置信区间 然后在均值上加减误差范围，来构建置信区间 我们用什么方法来计算均值呢 我们用什么方法来计算均值呢 当不知道总体标准差时 适合用 T 统计 我们用 t* 表示临界值 乘以 样本标准差S 除以 根号下样本容量 n 现在，这个问题就是 如果我们想要90%的置信水平，合适的样本容量 n 是什么 如果我们想要90%的置信水平，合适的样本容量 n 是什么 这里麻烦的是 如果这里使用 t 表 你不仅要知道90%的置信水平 还要知道自由度 自由度应该是 n - 1 然而我们不知道 n 是多少，就不知道 n -1 那么如何确定 n 呢？ 同样地，只有真正取样后才知道样本标准差 S 是多少 同样地，只有真正取样后才知道样本标准差 S 是多少 同样地，只有真正取样后才知道样本标准差 S 是多少 那还不如我们改为考虑 另一种合理的方法来构建置信区间和误差范围 另一种合理的方法来构建置信区间和误差范围 也就是说，可以用样本均值 X 加减 z，此时用 z 表取得临界值 加减 z，此时用 z 表取得临界值 用它乘以实际总体标准差 再除以 根号下 n 你可能会说 我们也不知道实际总体标准差呀 但是题目告诉我们，初步研究表明 这类车辆的行驶距离的标准偏差为15公里 这类车辆的行驶距离的标准偏差为15公里 所以我们可以把这个用作实际总体标准差的估值 所以我们可以把这个用作实际总体标准差的估值 所以这里是15公里 而且 z 表的好处是 你不用考虑自由度 只看置信区间 所以得到 z* 乘以15公里 除以 根号下 n 这不就是误差范围么 这不就是误差范围么 它不能超过10公里 所以就是 ≤ 10 这样就能求出90%置信水平下的 z* 之后就能求出 n 我们来算一下 可以用 z 表求出 z* 为了表示可以用多种方法 我改用计算器算 为了求出90%置信区间的 z 值 为了求出90%置信区间的 z 值 我可以用逆范数函数 (inverse norm) 在这里可以找到，第3项 选它 然后计算 你给出它在正常曲线下的区域 你甚至可以指定均值和标准差 均值需要为0 标准差为1 如果确定要在这里求 z 值 做法是，给出一个相应区域 然后求出 z 值 我要的已经在这里选好了 选择中央区域是90% 所以我在这里写 0.9 如果我用左尾区域表示中央区域为90%，那么我要写 5% 如果我用左尾区域表示中央区域为90%，那么我要写 5% 如果不选中央区域写 0.9 我要选左尾区域，然后写 0.05 或者选右尾区域，也是写 0.05 但我就选现在这个吧 点这里 这样就能求出 z 值了 算出来了 如果我选中央90% 近似值是 1.645 近似值是 1.645 高于或低于均值的等量标准差 所以这里的临界值 约等于 1.645 所以这里的临界值 约等于 1.645 所以 z* 是1.645 乘以15，再除以 根号下 n 乘以15，再除以 根号下 n 的值小于等于10 现在有几种不同的求解方法 我们可以用代数方法化简不等式 我建议用这个解法 或者你也可以把每个选项的值带进不等式 计算看是否正确 然后选符合不等式的答案中最小的值 我还是用代数求解法 如果你在生活中用这种解法 小N就不需要那么多选项了 她要算出样本量 然后进行研究 我们来算一下 我们来算一下 两边同除 1.645 和15 得到多少呢？ 1除以根号下 n 小于等于 10 除以 1.645 再除以 15 两边取倒数 根号下 n 大于等于 两边都取倒数 所以这里变成 1.645 乘以 15 1.645 乘以 15 再除以 10 再除以 10 15/10=1.5 我把1.5 写这里 两边求平方 得到 n ≥ (1.645•15) ² 得到 n ≥ (1.645•15) ² 得到 n ≥ (1.645•15) ² 这是两边都平方得出来的 这是两边都求平方得出来的 现在回到计算器上 1.645 乘以 1.5，再求平方 1.645 乘以 1.5，再求平方 约等于 6 6.09 n ≥ 6.09 当然我们的样本量应该是个整数 当然我们的样本量应该是个整数 所以大于等于6.09的最小数字是几？ 所以大于等于6.09的最小数字是几？ 对，是 7 选B 这是获得期望误差范围所需的最小近似样本量 这是获得期望误差范围所需的最小近似样本量 当然，只有在我们真正进行研究的时候才会知道结果 当然，只有在我们真正进行研究的时候才会知道结果 我们在这里用了总体标准差 我们在这里用了总体标准差 然后我们用 z 表 很想知道当小N真正开始研究 在90%的置信水平下，她的误差范围是不是真的不超过10公里 在90%的置信水平下，她的误差范围是不是真的不超过10公里