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主要内容

等式的等效系统审查

如果方程组具有相同的解, 则两个等式系统是等价的。本文将介绍如何判断两个系统是否相等。
具有相同解的方程组互为等价方程组
对于由两个方程组成的方程组,将两个方程相加,用得到的新方程替换掉原来的方程之一;或者将其中的一个方程两边乘以同一个数,得到的新方程组都是原方程组的等价方程组。
反过来说,如果两个方程组的解不同,这两个方程组就不是等价方程组。
注:等价系统的概念在线性代数中会再次出现。不过,本文中的例题和解释适用于高中代数一级。

例题一

下列两个方程组是否等价?
方程组 A方程组 B
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}12x+9y=73x4y=2\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\3x-4y=2\end{aligned}
将方程组B中的第二个方程式两边乘以3,可得:
3x4y=23(3x4y)=3(2)9x12y=6\begin{aligned} 3x-4y&=2 \\\\ 3(3x-4y)&=3(2) \\\\ 9x-12y&=6 \end{aligned}
将方程组B的第二个方程式用这个新的方程式代替,得到一个等价方程组:
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}
哇!快看!这个方程组和方程组A一模一样。所以方程组A和方程组B是等价的。
想学习更多有关等价方程式的知识吗?请看这个视频

例题二

下列两个方程组是否等价?
方程组 A方程组 B
9x4y=52x+5y=4\begin{aligned}-9x-4y&=5\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
有意思,如果我们把方程组A中的两个方程相加,就会得到:
9x4y=5+ 2x+5y=47x+y=1\begin{aligned} -9x-4y&=5 \\ +~2x+5y&=-4\\ \hline\\ -7x+y &=1 \end{aligned}
将方程组A的第一个方程式用这个新的方程式代替,得到一个方程组A的等价方程组:
7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
瞧瞧!这不就是方程组B么。所以方程组A和方程组B是等价的。

例题三

下面的两个方程组是不等价的,请通过找到一个不同的解进行证明.
方程组 A方程组 B
4x+10y=11x2y=3\begin{aligned}-4x+10y&=1\\\\-1x-2y&=-3\end{aligned}9xy=81x2y=4\begin{aligned}-9x-y&=8\\\\-1x-2y&=4\end{aligned}
注意在这两个方程组的第二个方程式中,xy的系数是相同的。而两个方程的常量项却不同!
所有满足方程组A的xy都不可能满足方程组B,反之亦然。
举例来说,x, equals, 1, y, equals, 1是方程组A的第二个方程式的解,但却不是方程组B的第二个方程式的解。
因此,方程组A和方程组B不等价。
想学习更多有关不等价方程式的知识吗?请看这个视频

练习

问题1
  • 当前
艾莎和雪宝的老师给他们布置了一道线性方程组的习题。他们各自做了几步变换,结果如下图所示。
老师
5, x, plus, 3, y, equals, minus, 1
4, x, minus, 9, y, equals, 8
艾莎雪宝
4, x, minus, 9, y, equals, 815, x, plus, 9, y, equals, minus, 3
9, x, minus, 6, y, equals, 74, x, minus, 9, y, equals, minus, 5
他们两人中谁的方程组与老师的方程组等价?
提示:等价方程组的解相同。
选出正确答案:

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