相关变化率：气球

你正在观看一场热气球表演， 你想知道某个特定的热气球 速度是多少。 你有一些已知条件可以用。 你知道热气球正下方的点在什么位置， 比如说它是从这个点起飞的， 而且一直竖直向上升高。 你可以测量出来， 这个点离你有 500 米远。 你知道你离这个点的距离是 500 米。 然后，你还可以测量 热气球与地平面的角度。 你是用——我也不懂， 我没干过测量工作， 我猜应该是类似取景器之类的东西 所以你能测量——我不确定工具对不对 反正你有工具，能测量 地平面之外的点与地平面的夹角大小。 所以你知道这个角 等于 pi/4 弧度，也就是 45 度。 我就写成 pi/4， 因为如果要对三角函数求导 默认应该是弧度。 所以这里的角等于 pi/4 弧度。 而且你还能测量出这个角的变化速度。 它的变化速度是 0.2 弧度每分钟。 所以我的问题是， 也是你在观看热气球表演时的问题是， 它此刻的升高速度是多少？ 在此刻，你看它的视线与地面的夹角是 pi/4 弧度， 而这个角此刻以 0.2 弧度每分钟的速度在变化。 我们先看看已知什么， 然后要计算的是什么。 我们已知一些信息， 已知 θ 等于 pi/4， 这个角我们记作 θ， 这是 θ。 我们也知道 θ 的变化率， 也就是 dθ， 我用黄色。 我们已知 dθ/dt 等于 0.2 弧度每分钟。 那我们想知道什么？ 我们想要知道这个热气球的 高度的变化率。 我们设这个距离为 h， 我们想要知道的就是 dh/dt 的大小。 这个我们现在未知。 所以我们现在需要的是 关于 dh/dt，dθ/dt 和 θ 的关系式。 或者另一个思路是， 如果我们可以找到 h 和 θ 的关系式， 然后对 t 求导， 那我们可能就得出它们的关系式了。 那么，θ 和 h 之间的关系是什么？ 要用一点三角函数知识， 我们想求的是 h， 我们已知这里的长度， 我们也知道，对边比邻边 就是正切函数的定义。 我们写下来。 所以我们知道 θ 的正切 等于对边——对边就等于 h ——除以邻边， 我们知道它是一个固定值 500。 所以就有了 θ 和 h 的关系式， 然后要找到关于 dθ/dt， 也就是 θ 关于 t 的变化率， 与 h 关于 t 的变化率之间的关系， 我们只需要将等号两边 同时对 t 求导，用隐函数求导法。 我们来做。 我要先把这个 h/500 挪一下， 稍微往旁边挪一下， 这样我就有地方写求导符号了， 我这样写， 我们现在相对于 t 来求导， 那么是 d/dt， 我要在左边对 t 求导， 要在右边也对 t 求导。 那么 tan(θ) 对 t 求导等于什么？ 这里我们要用链式法则， 先是 tan(θ) 对 θ 求导， 它等于 sec 平方 θ， 然后乘以 θ 对 t 求导， 乘以 dθ/dt。 同样，这里就是正切函数的导数， 一个东西的正切，对这个东西求导， 再乘以这个东西对 t 求导。 θ 的正切对 θ 求导 再乘以 θ 对 t 求导， 它就等于 θ 的正切对 t 求导， 它也就是使用这种求导符号时， 我们想求的东西。 我们是相对于 t 求导， 而不仅是相对于 θ 求导。 左边就等于这个。 然后，右边就变成， 它就等于 1/500 乘以 dh/dt， 等于 1/500 dh/dt。 我们可以直接得出来， 它就是 1/500 乘以 h 对 t 的导数。 现在我们有了关系式， 这就是我们所需要的关系式。 这个关系式表明了高度关于时间的变化率， 与角度关于时间的变化率，以及角度， 在任意时刻的关系。 现在我们可以把已知的数值带入进来， 来解出未知量。 我们开始， 我们在这里写。 我们有 sec 平方 θ， 我们有 sec 平方， 此刻 θ 等于 pi/4， sec(pi/4) 的平方。 我来用这些颜色写， 这样就知道带入的是什么值。 sec 平方 pi/4， sec 乘以 dθ/dt， 它等于 0.2， 所以乘以 0.2。 然后就等于 1/500， 再确认一下， 这里单位是弧度每分钟， 我们的目标是米每分钟， 这里是米， 所以这里就是米每分钟。 我只是确认一下单位有没有问题。 我为了节约地方，没写单位。 我们这里是 1/500 乘以 dh/dt， 要解出 dh/dt， 需要两边同时乘以 500， 我们就得到，高度的变化率 等于 500 乘以，我看看 sec 平方 pi/4。 它就等于 1 除以 cos 平方 pi/4， 我在这里写， cos(pi/4) 等于 2 分之根号 2， cos 平方 pi/4 等于 2/4， 也就是 1/2。 所以 sec 平方 pi/4 就是 1 除以它， 也就等于 2。 它就等于——我这么来写—— 那么这个 sec 平方 pi/4， 把这个删掉， sec 平方 pi/4， 所有这部分就等于 2， 所以是乘以 2 乘以 0.2， 乘以 0.2。 然后等于什么？ 它等于 500 乘以 0.4， 然后就等于 500 乘以—— 我还是写成一个点—— 乘以 0.4， 等于——我仔细一点，别弄错了 这里有两个 0，还有一位小数， 没错， 它就等于 200。 所以，在此刻，热气球的高度 随时间的变化率等于 200 米每分钟。 dh/dt 等于 200 米每分钟。