相关变化率：影子

现在是深夜， 这是一只夜间掠食鸟类，可能是猫头鹰， 正在俯冲向它的晚餐。 所以这里是只老鼠。 猫头鹰在一个路灯旁， 竖直向下俯冲。 我们来梳理一下已知条件， 这里的路灯是 20 英尺高， 所以这是个 20 英尺高的路灯。 而在这个时刻， —— 我画的比例不一定精确 —— 猫头鹰正在老鼠的上方 15 英尺， 所以这个距离是 15 英尺， 而这个老鼠离路灯底座的距离是 10 英尺， 我来画， 所以老鼠离路灯底座 10 英尺。 我们还知道 — 我们有测速雷达 — 我们知道猫头鹰正在竖直向下俯冲， 而在此刻，它的速度是 20 英尺每秒。 所以在此刻，它向下的速度是 20 英尺每秒。 现在我们想知道的是， 这里是一个灯， 光线从灯向各方向延伸， 它照到猫头鹰，产生了影子， 在此刻，影子在这里。 而当猫头鹰越来越向下， 它的影子就会向左边移动，像这样。 所有这些就是我们的已知条件， 而问题是，在此刻，影子移动的速度是多少？ 先考虑我们什么已知，什么未知， 为此，我们先设几个变量。 我用等价的几何图形把这些画出来， 我们说，这里就是这个路灯， 它有 20 英尺高。 而这里，是此刻猫头鹰的高度， 是 15 英尺。 而路灯底座到猫头鹰的目标点， 也就是到老鼠的位置， 距离是 10 英尺。 如果我想知道影子的位置， 光是从这里发出来的， 然后猫头鹰在这里挡住了光， 所以影子在这里， 从光源画一条直线， 经过猫头鹰，然后继续延伸， 然后接触到地面， 你就明白影子在哪里了。 影子就在这里， 它就在这个位置。 而我们需要算出它的移动速度。 它是在向左边移动， 我们来设几个变量， 我们说 —— 什么东西在变？ 我们知道猫头鹰的高度在变， 我们设为 y。 在此刻，它等于 15， 但实际上它是在变的。 然后我们把影子和老鼠的距离设为 x。 根据这些变量， 我们可以写出 x 和 y 的关系式吗？ 然后根据这个关系式， 我们真正要计算的是， x 对于时间的变化率是多大？ 我们知道在此刻的 y 值， 也知道此刻 dy/dt 的值。 如果我们能得出 x 和 y 的关系式， 然后对 t 求导， 我们是否就能算出 在给定时刻的 dx/dt 值了呢？ 那么，这两个三角形 —— 两个三角形， 明确一下到底是哪两个。 是这个三角形，比较小的，绿色的三角形， 它相似于这个大一些的三角形。 它相似于这个较大的三角形， 这个蓝色的三角形。 它相似于这个较大的三角形。 怎么知道的呢？ 它们都有直角，在这里。 这个角是它们的公共角。 所以三个角—— 它们有两个角相等 —— 那必然三个角都对应相等。 所以它们相似， 意味着它们的对应边是成比例的。 所以我们知道 x 比 y， 就等于这整个底边，也就是 x 加 10， 比这个大三角形的高，比 20。 在这里，我们就有了 x 和 y 的关系式， 然后，等号两边同时对 t 求导， 我们就算是干的漂亮了。 在对 t 求导之前—— 当然我可以直接求导—— 但还是先化简一下比较好算， 我们交叉相乘。 也就是两边同时乘以 20 和 y， 这样就不会再有分母了。 所以，左边化简为 20x， 我可不想把它盖住 —— 20x， 左边等于 20x。 然后右边呢 —— 我们看，这两个约掉了 —— 等于 xy 加 10y。 现在，我们来把等号两边同时对时间求导。 20 乘以这个东西对时间求导， 等于 20 乘以这个东西对自己的导数， 也就是 20， 也就是 20x 对 x 的导数， 乘以 dx —— 也就是 x 对 t 的导数， 它等于， 在这边我们要稍微用一下乘法法则。 首先是 x 对时间的导数， 第一个东西的导数乘以第二个， 所以乘以 y。 再加第一个东西乘以第二个东西的导数。 所以 y 对 t 的导数就是 dy/dt， 最后是这里， 10y 对 t 的导数 就等于 10y 对 y 的导数，也就是 10， 乘以 y 对 t 的导数，也就是 dy/dt。 就是这个。 这就是 dx/dt，dy/dt，以及 x 和 y 的关系式。 它们是否已知呢？ 这就是我们要计算的，dx/dt， 在这边还有另一个 dx/dt， 我们要把它解出来， 我们已知 y 的值，y 等于 15， 我们也知道 dy/dt 的值，dy/dt， 按照惯例，由于 y 在减小， 所以它等于 -20。 所以这个是已知的。 所以如果我们知道—— 这个是已知的。 所以只要知道 x 的值，我们就能解出 dx/dt。 那么此刻 x 等于多少？ 我们可以用第一个方程—— 可以用上面这个方程， 但这个化简过的更方便——来求出 x。 我们一起来算，之后再代回这个式子， 这个求导之后的式子。 那么有 20 乘以 x 等于 x 乘以 y， y 等于 15， 请记住，我们可以用这个方程， 但这里化简了一步， 已经交叉相乘了。 所以 x 乘 y，y 等于 15。 这是 x 乘以 15，加 10 乘以 y， 加 10 乘以 15. 对不对？ 20x 等于 x 乘以 15 加 10 乘以 15， 所以如果减去 —— 它就是 20x 等于 15x 加 150。 两边同时减去 15x， 就得到 5x 等于 30 —— 抱歉，是 5x 等于 150， 我的脑子跑快了一步， 5x 等于 150， 两边除以 5 就得到 x 等于 30 英尺。 在此刻，x 等于 30 英尺。 所以这个距离，我们回到最初这个图， 这个距离就等于 30 英尺。 现在我们可以把所有值代回 这个方程，解出 dx/dt 了。 我们有 —— 我写在这里 我们有 20 乘以 dx/dt， 我用桔色写，要计算的是这个。 算了，我已经用过桔色， 我们说 dx/dt —— 我用粉色 20 乘以 dx/dt 等于 dx/dt 乘以 y， y 现在等于 15 英尺， 所以乘以 15，乘以 —— 我不想用这个颜色。 乘以 15，加 x， 我们已经知道 x 等于 30。 加 30，乘以 dy/dt， dy/dt 等于多少？ dy/dt，我们说是 -20 英尺每秒， y 在减小， 这只鸟冲向晚餐时，是在向下俯冲。 所以乘以负的 —— 负的 20 英尺每秒。 到这里了， 然后是加 10 乘以 dy/dt， 所以加 10 乘以 -20 英尺每秒。 现在我们可以解出 dx/dt。 我们看，得到什么？ 得到 20 乘以 —— 我们看， 两边同时减去 15dx/dt 然后得到 5dx/dt， 方程两边我同时减去它， 这是 15dx/dt，这是 20， 所以我们得到 5dx/dt，它等于 这部分是 -600， 而这部分是 -200。 所以等于 -800 英尺每秒 抱歉，是 -800，实际上单位就是英尺每秒。 所以 dx/dt 就等于。两边同时除以 5， 5 乘以 16 等于 80， 所以这是 -160 英尺每秒。 我们解出来了， 可以看到，影子向左移动的速度 非常非常非常块。 x 在减小，所以可以看到， 可以看到这里是个负号， x 的值在减小， 它在向左移动，速度飞快。