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相关变化率:影子

沙尔解决了一个有关猫头鹰捕捉老鼠时它的影子投射的相关变化率的问题. Sal Khan 创建

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视频字幕

现在是深夜, 这是一只夜间掠食鸟类,可能是猫头鹰, 正在俯冲向它的晚餐。 所以这里是只老鼠。 猫头鹰在一个路灯旁, 竖直向下俯冲。 我们来梳理一下已知条件, 这里的路灯是 20 英尺高, 所以这是个 20 英尺高的路灯。 而在这个时刻, —— 我画的比例不一定精确 —— 猫头鹰正在老鼠的上方 15 英尺, 所以这个距离是 15 英尺, 而这个老鼠离路灯底座的距离是 10 英尺, 我来画, 所以老鼠离路灯底座 10 英尺。 我们还知道 — 我们有测速雷达 — 我们知道猫头鹰正在竖直向下俯冲, 而在此刻,它的速度是 20 英尺每秒。 所以在此刻,它向下的速度是 20 英尺每秒。 现在我们想知道的是, 这里是一个灯, 光线从灯向各方向延伸, 它照到猫头鹰,产生了影子, 在此刻,影子在这里。 而当猫头鹰越来越向下, 它的影子就会向左边移动,像这样。 所有这些就是我们的已知条件, 而问题是,在此刻,影子移动的速度是多少? 先考虑我们什么已知,什么未知, 为此,我们先设几个变量。 我用等价的几何图形把这些画出来, 我们说,这里就是这个路灯, 它有 20 英尺高。 而这里,是此刻猫头鹰的高度, 是 15 英尺。 而路灯底座到猫头鹰的目标点, 也就是到老鼠的位置, 距离是 10 英尺。 如果我想知道影子的位置, 光是从这里发出来的, 然后猫头鹰在这里挡住了光, 所以影子在这里, 从光源画一条直线, 经过猫头鹰,然后继续延伸, 然后接触到地面, 你就明白影子在哪里了。 影子就在这里, 它就在这个位置。 而我们需要算出它的移动速度。 它是在向左边移动, 我们来设几个变量, 我们说 —— 什么东西在变? 我们知道猫头鹰的高度在变, 我们设为 y。 在此刻,它等于 15, 但实际上它是在变的。 然后我们把影子和老鼠的距离设为 x。 根据这些变量, 我们可以写出 x 和 y 的关系式吗? 然后根据这个关系式, 我们真正要计算的是, x 对于时间的变化率是多大? 我们知道在此刻的 y 值, 也知道此刻 dy/dt 的值。 如果我们能得出 x 和 y 的关系式, 然后对 t 求导, 我们是否就能算出 在给定时刻的 dx/dt 值了呢? 那么,这两个三角形 —— 两个三角形, 明确一下到底是哪两个。 是这个三角形,比较小的,绿色的三角形, 它相似于这个大一些的三角形。 它相似于这个较大的三角形, 这个蓝色的三角形。 它相似于这个较大的三角形。 怎么知道的呢? 它们都有直角,在这里。 这个角是它们的公共角。 所以三个角—— 它们有两个角相等 —— 那必然三个角都对应相等。 所以它们相似, 意味着它们的对应边是成比例的。 所以我们知道 x 比 y, 就等于这整个底边,也就是 x 加 10, 比这个大三角形的高,比 20。 在这里,我们就有了 x 和 y 的关系式, 然后,等号两边同时对 t 求导, 我们就算是干的漂亮了。 在对 t 求导之前—— 当然我可以直接求导—— 但还是先化简一下比较好算, 我们交叉相乘。 也就是两边同时乘以 20 和 y, 这样就不会再有分母了。 所以,左边化简为 20x, 我可不想把它盖住 —— 20x, 左边等于 20x。 然后右边呢 —— 我们看,这两个约掉了 —— 等于 xy 加 10y。 现在,我们来把等号两边同时对时间求导。 20 乘以这个东西对时间求导, 等于 20 乘以这个东西对自己的导数, 也就是 20, 也就是 20x 对 x 的导数, 乘以 dx —— 也就是 x 对 t 的导数, 它等于, 在这边我们要稍微用一下乘法法则。 首先是 x 对时间的导数, 第一个东西的导数乘以第二个, 所以乘以 y。 再加第一个东西乘以第二个东西的导数。 所以 y 对 t 的导数就是 dy/dt, 最后是这里, 10y 对 t 的导数 就等于 10y 对 y 的导数,也就是 10, 乘以 y 对 t 的导数,也就是 dy/dt。 就是这个。 这就是 dx/dt,dy/dt,以及 x 和 y 的关系式。 它们是否已知呢? 这就是我们要计算的,dx/dt, 在这边还有另一个 dx/dt, 我们要把它解出来, 我们已知 y 的值,y 等于 15, 我们也知道 dy/dt 的值,dy/dt, 按照惯例,由于 y 在减小, 所以它等于 -20。 所以这个是已知的。 所以如果我们知道—— 这个是已知的。 所以只要知道 x 的值,我们就能解出 dx/dt。 那么此刻 x 等于多少? 我们可以用第一个方程—— 可以用上面这个方程, 但这个化简过的更方便——来求出 x。 我们一起来算,之后再代回这个式子, 这个求导之后的式子。 那么有 20 乘以 x 等于 x 乘以 y, y 等于 15, 请记住,我们可以用这个方程, 但这里化简了一步, 已经交叉相乘了。 所以 x 乘 y,y 等于 15。 这是 x 乘以 15,加 10 乘以 y, 加 10 乘以 15. 对不对? 20x 等于 x 乘以 15 加 10 乘以 15, 所以如果减去 —— 它就是 20x 等于 15x 加 150。 两边同时减去 15x, 就得到 5x 等于 30 —— 抱歉,是 5x 等于 150, 我的脑子跑快了一步, 5x 等于 150, 两边除以 5 就得到 x 等于 30 英尺。 在此刻,x 等于 30 英尺。 所以这个距离,我们回到最初这个图, 这个距离就等于 30 英尺。 现在我们可以把所有值代回 这个方程,解出 dx/dt 了。 我们有 —— 我写在这里 我们有 20 乘以 dx/dt, 我用桔色写,要计算的是这个。 算了,我已经用过桔色, 我们说 dx/dt —— 我用粉色 20 乘以 dx/dt 等于 dx/dt 乘以 y, y 现在等于 15 英尺, 所以乘以 15,乘以 —— 我不想用这个颜色。 乘以 15,加 x, 我们已经知道 x 等于 30。 加 30,乘以 dy/dt, dy/dt 等于多少? dy/dt,我们说是 -20 英尺每秒, y 在减小, 这只鸟冲向晚餐时,是在向下俯冲。 所以乘以负的 —— 负的 20 英尺每秒。 到这里了, 然后是加 10 乘以 dy/dt, 所以加 10 乘以 -20 英尺每秒。 现在我们可以解出 dx/dt。 我们看,得到什么? 得到 20 乘以 —— 我们看, 两边同时减去 15dx/dt 然后得到 5dx/dt, 方程两边我同时减去它, 这是 15dx/dt,这是 20, 所以我们得到 5dx/dt,它等于 这部分是 -600, 而这部分是 -200。 所以等于 -800 英尺每秒 抱歉,是 -800,实际上单位就是英尺每秒。 所以 dx/dt 就等于。两边同时除以 5, 5 乘以 16 等于 80, 所以这是 -160 英尺每秒。 我们解出来了, 可以看到,影子向左移动的速度 非常非常非常块。 x 在减小,所以可以看到, 可以看到这里是个负号, x 的值在减小, 它在向左移动,速度飞快。