导数的概念

你应该已经熟悉了一条线的 斜率的概念 如果不是的话，我鼓励你再可汗学院上复习一下 总的来说就是在描述一个垂直变量 相对于 水平变量的变化率 比如说，这里是我们经典的y轴 在垂直方向，然后水平 方向是x轴 假如我想知道这条线的斜率 我可以选两个点 比如说这个和那个点 我可以说，从这个点到这个点 x的变化是多少？ x的变化就是这个距离 x的变化 这个三角形是希腊字母德尔塔 是“变化”的代名词，所以是x的变化 我还可以计算y的变化 所以这个点往上到这个点，这是 y的变化，在这里 然后，我们定义斜率是 y的变化除以x的变化 所以斜率是垂直的变量 的变化率 除以水平变量的变化率 除以水平变量的变化率 对于任何直线来说，它都有一个斜率 因为它的变化率是常数 假如你在这条线上任意取两个点 不管它们多远或者多近 它们可以在这条线任意位置 假如你算这个数 你会得到同样的斜率 这就是一条直线 但是微积分有意思的 地方是我们可以建立工具来 帮我们思考不仅是直线的 变化率，或者说我们之前说的斜率 我们可以考虑 一条曲线的瞬时变化率 一个变化率在 不断变化的东西的变化率 比如说，这是一条曲线，它的y 相对于x的变化率是在一直变化的 即使我们用传统的方法 我们可以计算这个点 和这个点之间的平均变化率 那这是什么呢？ 这个点和这个点的平均变化率 就是连接它们的直线的 斜率 所以是这条线，也就是割线的斜率 但假如我们选两个不同的点 我们选这个和这个点 这两个点之间的 平均变化率一下子就不一样了 看上去这个斜率更大 所以尽管我们选了线上的 两个点 你可以看到斜率是在变化的 但是如果我们问一个 更有意思的问题 这个点的瞬时变化率是多少呢？ 比如说，y相对于x 在这个点的变化率是多少？ 当x正好等于这个值的时候 称其为x1 你可以这么想 假如我们在这个点画一条切点 一条只在这个点和图像汇合的线 然后我们求这条线的斜率 这就是在这个点的 瞬时变化率 所以在这里 切线看着大概是这样的 如果我们知道它的斜率 我们可以说这是 在这个点的瞬时变化率 为什么我说是瞬时变化率呢？ 想想那些短跑运动员的视频 比如说博尔特 假如我们想知道博尔特 在某个瞬间的速度，比如说这是它的位置 相对于时间的图像，y是位置，x是时间 通常应该用t表示时间，但这次我们就用x 假如我们想说这个时间点 我们说的是瞬时速度 这个概念是微分的核心 这是导数 切线的斜率，你也可以看作是 瞬时变化率 这里我加一个感叹号 因为它是个很重要的概念 我们怎么表示导数呢？ 其中一个是莱布尼茨符号 莱布尼茨和牛顿是微积分 的创始人 用他的符号，你会把切线 的斜率表示成 dy除以dx 为什么我喜欢这个符号呢？ 因为它是从斜率的概念来的 也就是y的变化除以x的变化 在以后的视频你会看见 其中一种算切线 的斜率的方法是 我们求割线的斜率 比如说这个点和这个点 但是我们再接近一点 比如说这个点和这个点 然后我们再接近一点 比如说这个点和这个点 然后我们再接近一点 然后我们看看当x的 变化接近0的时候 所以这里用d而不是德尔塔 是莱布尼茨想说 当x的变化 接近0的时候 所以这个概念 有时候被称为微分符号 莱布尼茨符号，就是y的变化 除以x的变化，对于特别小的y的变化 和特别小的x的变化 特别是当x的变化接近0的时候 之后你会看到的 这是我们求导数的方法 还有别的符号 如果这个曲线是y等于f(x) 那切线在这个点 的斜率可以表示为 f‘(x1) 这个符号需要点时间来适应 这是拉格朗日符号 f' 来表示导数 它是告诉我们切线在某个点 的斜率 如果你把x代入到f里 你会得到对应的y值 如果你把x代入 f' 里 你会得到切线在那个点的斜率 还有一个你可能会看见的符号 可能是在物理课上 是y上面加一撇 你可以把这表示成y上加一撇 这也表示导数 y' 在数学课里更常见 当我们在微积分的探索里前进时 我们会建立计算这些东西的工具 如果你已经熟悉了极限的概念 它们则会非常有用，因为 我们需要y的变化 除以x的变化 当x的变化接近0的时候 然后我们不仅要 一个点 我们会求出在任意一个点 的通用公式 这还是非常让人兴奋的