定积分的边界互换

我们已经学习了 定积分的一个定义，其他的许多定义 都和这个定义密切相关 我们知道，这个定义就是 f(x) dx 的从 a 到 b 的定积分 就是这个蓝色阴影的面积， 我们可以通过把它分成 n 个矩形来近似它 我们说这是第一个矩形，1， 这是第二个矩形，2， 一直到第 n 个矩形， 这是第 n-1 个矩形， 为了今天视频中的议题， 我要假设 它们的宽度都是相同的 这是第 n 个矩形， 它们都有相同的宽度。 在积分的定义中，你不一定 需要它们的宽度相等， 而这里，我们说每个矩形的宽度是Δx， 我们计算Δx的方法就是 (b - a)/n， 这是常识， 或者说我们在除法中学过了。 我们取这个长度，然后除以 n ， 得到 n 个相同的 Δx 的间隔， 如果你这样做了，你会说 我们已经看到多次了， 你可以近似它， 你可以用这些矩形 从 1 到 n 的和来近似这个面积。 也就是你把 n 个矩形的面积加在一起， 这里，每个矩形的高度 是 f(x下标i)，这里x下标i 就是你要取它的函数值 找到它的高度的那一点 它可以是 x下标 1，x下标 2，x下标 3， 等等，你要把它乘以 你的 Δx， 你取 x下标 2，f(x下标2） 就是这里的高度， 你把它乘以 Δx 就得到这个面积。 我们在学习黎曼和时见到过它， 并用它进行近似计算。 我们说过，定积分的一个定义 就是 ——因为它是面积， 它就是它当 n 趋向于无穷时的极限， 这里，Δx 的定义就是它。 我们把它拷贝粘贴过来。 这是要考虑的一个方面， 现在，有了这个定义，你怎样考虑这个表达式， 这是考虑问题的另一面， 基于这个定义，你怎样考虑 我在这里写出的表达式， 它和这个表达式有关系吗？ 注意，我做的只是调换了 a 和 b， 现在是从 b 到 a， 你对它们之间的关系怎样考虑呢？ 我鼓励你们仔细看看所有这些， 然后做出结论 请暂停视频，考虑一下 好， 我们来看看会是怎样的 它就是—— 如果我把这些文字拷贝粘贴， 我就是要把这一部分拷贝过来， 根据定义，因为我把两个界限交换了， 我就要把这两个也交换， 不是 b-a，而是 a-b， 它成了 a-b， 这个值， 我还是来加上颜色标记， 这个橘黄色 Δx 是这个绿色 Δx 的负值。 它是它的负值， 其他所有的都一样， 我会有什么结论呢？ 实质上，我们最终 得到它的负值。 它就等于 f(x) dx 从 a 到 b 的积分的负值。 这就是我们的结论， 这是又一个重要的积分性质， 也就是如果你交换积分的界限， 由这个定义， Δx 不是 b-a ， 如果交换积分界限，它就成了 a-b， 我们得到了负的 Δx， 或者说，得到了原来的 Δx 的负值， 这就让你得到 这里原来的积分值的负值， 再说一遍，这是一个非常非常有用的积分性质。 这在你对一些积分 进行理解和求解时 都非常有用。