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主要内容

定积分的边界互换

将积分的两个区间端点交换时会如何?

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视频字幕

我们已经学习了 定积分的一个定义,其他的许多定义 都和这个定义密切相关 我们知道,这个定义就是 f(x) dx 的从 a 到 b 的定积分 就是这个蓝色阴影的面积, 我们可以通过把它分成 n 个矩形来近似它 我们说这是第一个矩形,1, 这是第二个矩形,2, 一直到第 n 个矩形, 这是第 n-1 个矩形, 为了今天视频中的议题, 我要假设 它们的宽度都是相同的 这是第 n 个矩形, 它们都有相同的宽度。 在积分的定义中,你不一定 需要它们的宽度相等, 而这里,我们说每个矩形的宽度是Δx, 我们计算Δx的方法就是 (b - a)/n, 这是常识, 或者说我们在除法中学过了。 我们取这个长度,然后除以 n , 得到 n 个相同的 Δx 的间隔, 如果你这样做了,你会说 我们已经看到多次了, 你可以近似它, 你可以用这些矩形 从 1 到 n 的和来近似这个面积。 也就是你把 n 个矩形的面积加在一起, 这里,每个矩形的高度 是 f(x下标i),这里x下标i 就是你要取它的函数值 找到它的高度的那一点 它可以是 x下标 1,x下标 2,x下标 3, 等等,你要把它乘以 你的 Δx, 你取 x下标 2,f(x下标2) 就是这里的高度, 你把它乘以 Δx 就得到这个面积。 我们在学习黎曼和时见到过它, 并用它进行近似计算。 我们说过,定积分的一个定义 就是 ——因为它是面积, 它就是它当 n 趋向于无穷时的极限, 这里,Δx 的定义就是它。 我们把它拷贝粘贴过来。 这是要考虑的一个方面, 现在,有了这个定义,你怎样考虑这个表达式, 这是考虑问题的另一面, 基于这个定义,你怎样考虑 我在这里写出的表达式, 它和这个表达式有关系吗? 注意,我做的只是调换了 a 和 b, 现在是从 b 到 a, 你对它们之间的关系怎样考虑呢? 我鼓励你们仔细看看所有这些, 然后做出结论 请暂停视频,考虑一下 好, 我们来看看会是怎样的 它就是—— 如果我把这些文字拷贝粘贴, 我就是要把这一部分拷贝过来, 根据定义,因为我把两个界限交换了, 我就要把这两个也交换, 不是 b-a,而是 a-b, 它成了 a-b, 这个值, 我还是来加上颜色标记, 这个橘黄色 Δx 是这个绿色 Δx 的负值。 它是它的负值, 其他所有的都一样, 我会有什么结论呢? 实质上,我们最终 得到它的负值。 它就等于 f(x) dx 从 a 到 b 的积分的负值。 这就是我们的结论, 这是又一个重要的积分性质, 也就是如果你交换积分的界限, 由这个定义, Δx 不是 b-a , 如果交换积分界限,它就成了 a-b, 我们得到了负的 Δx, 或者说,得到了原来的 Δx 的负值, 这就让你得到 这里原来的积分值的负值, 再说一遍,这是一个非常非常有用的积分性质。 这在你对一些积分 进行理解和求解时 都非常有用。