概率不同的事件

到目前为止 我们一直在处理一个类型的概率题 事件A发生的概率等于 满足A发生的事件总数 除以等概率事件的总数 所有的等概率事件 对于一枚均匀的硬币 投出头像的概率 这是均匀的硬币 有两个等概率事件 其中有一个满足出现头像 所以有一半的机会转到头像 也有一半的机会转到背面 如果大家使用骰子 转到偶数向上的概率 当大家转动骰子时 有6种等可能事件 可以转到3个偶数 可以转到2 4 6 所以有3个偶数 同样的 有一半的机会转到偶数 这是个很好的例子 这里讨论的是等概率事件 现在我要将问题稍微变难点 画一条线 这是 讨论概率问题的一个方法 现在我们要介绍另一种 在分析等概率问题时更好的方法 特别的 我要用一个转到不同面不等概率的硬币 就在这儿 这就是我的不均匀硬币 硬币的一面比另一面更重 所以这是头像面 很明显 这是背面 我提到 这是个不均匀硬币 现在要对这个不均匀硬币做些有趣的描述 实际上这种描述不适用于我上面建立的模型 这个有趣的陈述是 转到头像的概率超过50% 我要讲转到头像的概率 对于这个硬币 将是60% 另一种说法是 0.6或说十分之六 另一种描述是3/5 这么说大家可能理解地更直观 希望这有点用 但我希望大家明白的是 这和我们以前说的有本质的区别 因为现在我们不能说这有两个等概率事件 有两种可能事件 大家可以转到头像或者背面 假设硬币竖立起来是不可能的 所以大家要么转到头像 要么转到背面 但它们不是等概率事件 所以我们不能 用满足某个条件的事件总数 除以所有事件总数来求概率 在这种情况下 为了使概率形象化 我们需要 这称为频率论方法 用频数概率来思考问题 转到头像的概率是60% 概念化的方法是 假设我们做了很多次实验 如果掷这枚硬币 这是说 如果我们掷这枚硬币 很多次 将有60%的可能性掷到头像 不清楚是怎么确定的 但就是60%的可能性 或许我做了个计算机模拟实验 或许我了解掷硬币的原理 然后我能很神奇地知道硬币每次落下是某个面朝上 或许这看起来 我已经做了很多实验 掷一枚硬币一百万次 我说 好的 60%的结果中 1000分之600的结果中头像朝上 可以对掷到背面做相似的陈述 掷到头像的概率是60% 掷到背面的概率- 只有两种可能事件 掷到头像或背面 掷到头像或背面的概率总和 将是1 因为大家只能掷到其中一种结果 掷到头像或背面的概率是百分之百 掷到头像和掷到背面是互斥事件 不可能同时取得两个结果 所以这是 掷到背面的概率 将是100%减去掷到头像的概率 掷到头像概率是60% 也就是100%减去60% 即40% 用小数写 是0.4 用分数表达 是4/10 用最简分数写 是2/5 再说一次 这个概率告诉我们 大家不能说等概率事件 可以说 如果做极大量的实验 我们可以做更多更多的实验 掷很多很多次硬币 结果中的60%是头像朝上 现在大家利用这些做几个题目 思考一下第一次掷硬币和第二次都 得到头像的概率 再说一次 这些是独立事件 硬币没有记忆功能 不管第一次掷硬币的结果是什么 第二次掷到头像的概率和第一次相同 与第一次掷到头像或背面的结果无关 答案是第一次掷硬币得到头像的概率 乘以第二次掷硬币得到头像的概率 我们已知 掷一枚硬币得到头像的概率是60% 或者说 用小数写是0.6 做下乘法 在这里写 也就是0.6乘以0.6 做一下是否符合现实的核查总是好的 如果我 这是 一种思考方法 我取了6/10的6/10 所以这比6/10的一半要稍微大些 大概比3/10大一些 在讨论小数的乘法时 我们会详细解释 最终把这些数相乘 首先不考虑小数 6乘以6等于36 数一下数字的位数 写在小数点的右边 小数点右边有两个数 在小数点右边有两个数 我们的答案 就是0.36 这很有道理 我们从0.6中取60% 从0.6中取0.6 比0.6的一半稍大些 再说一次 比0.3稍微大一些 这说得通 0.36 另一种表示方法是 连续两次都转到头像的概率是36% 对于这个不均匀硬币 记住如果这是个均匀硬币 答案将是1/2乘以1/2 也就是四分之一或说1/4或25% 现在概率比这个大 这是说得通的 现在思考一个稍微复杂些的问题 比方说 第一次掷硬币得到背面 并且第二次掷硬币得到头像 然后第三次掷硬币得到背面的概率是多少 概率将等于 第一次掷到背面的概率- 因为它们是独立事件 其中任何一个发生 如果大家知道 第一次掷到背面 并不影响 第二次掷得头像的概率 乘以第二次掷得头像的概率 再乘以第三次掷得背面 的概率 掷一次硬币得到背面的概率 我们知道是0.4 掷一次硬币得到头像的概率是0.6 掷一次硬币得到背面的概率是0.4 再说一次 我们把这些相乘 0.4乘以0.6 如果用0.4乘以0.6 实际上有很多种思考的方法 坦白说 我们用4乘以6乘以4 在小数点后面共有三个数 就这么做吧 4乘以6是24 24乘以4等于96 所以得到 写下9 6 记住 在小数点后面共有三个数 在小数点右边的这儿有一个数 小数点右边的这里有一个数 小数点右边的这还有一个数 小数点右边有三个数 这是我们的答案 1 2 小数点右边还需要一位 所以我们的答案是0.096 另一种思考方法是 这等于9.6%的机会 这比10%稍微小一些 比十分之一的机会要小一些 我们掷三次硬币时 第一次掷得背面 第二次掷得头像 第三次掷得背面的概率