最优化：盈利

你开了一家鞋厂， 你想要知道要生产几千双鞋，才能将利润最大化。 我们设生产 x 千双鞋。 我们先来考虑每双鞋能挣多少钱， 实际上，我说的是收入， 也就是卖掉这些皮鞋你能收入多少钱。 我在这里写个函数， 收入是 x 的函数， 你有一个批发商， 他以每双 10 元的价格从你这里进货， 多少双都是这个价。 所以你的收入函数是 10x。 这里 x 是多少千双鞋，如果 x 是 1， 那就是生产了 1000 双鞋，乘以 10，应该是 10000元， 但这里等于 10， 所以这里的单位应该是千元。 如果 x 是 1，意味着生产了 1000 双鞋， 10 乘以 1，也就是 r 等于 10， 但实际上是 10000 元。 这是个好生意啊。 如果只有收入，没有成本的话。 但你是有成本的， 你需要材料，需要建工厂， 需要发工资， 还需要交电费。 所以你雇佣了一大帮咨询师， 来帮你得出一个成本关于 x 的函数。 他们得出了一个函数， 它等于，生产的鞋数（千双），它的立方， 减 6 倍的生产的鞋数（千双）的平方， 再加 15倍的生产的鞋数（千双）， 然后，它的单位也是千元。 现在，已知这两个 x 的函数，分别是收入和成本， 那么，利润关于 x 的函数是什么呢？ 很简单，你的利润关于 x 的函数 就等于收入关于 x 的函数， 减去成本关于 x 的函数。 如果你生产了一定量的鞋， 打个比方，你收入了 10000 元， 而生产这些鞋的成本是 5000 元， 那么你就有 5000 元的利润。 刚才那些数是我编的， 不一定符合这些函数啊。 我只是打个比方。 那么你就想要把它最大化。 你想要将 p 关于 x 的函数最大化。 那它等于什么？ 我在这里说的只是缩略写法， 而我们知道 r（x) 和 c(x) 分别是什么。 这是 10x 减去这里整个式子， 减去 x 的 3 次方加 6x 的平方减 15x。 我在这里是减去 x 平方， 减去 6x 平方，变成正的， 然后减去 15x，变成 -15x，然后再化简—— 我看看，等于负的 x 立方 加上 6x 平方减去 15x 加 10x，也就是减 5x。 如果要用解析方法来最大化这个利润函数， 最简单的方法就是 找出利润函数的临界点， 然后判断这些临界点 是最小值点还是最大值点。 如果找到最大值点，我们就能说， 生产这么多就好。 它就是——我们最大化了 或者说我们找到了能使利润最大化的产量。 要找出临界点， 实际上就是要计算函数的导数， 然后找到使导数等于 0 的点， 还有使导数无定义的点。 这就是临界点的定义。 那么 p'(x) 就等于 -3x 的平方加 12x 减 5。 而它对所有 x 都有定义。 所以临界点只有使一阶导数等于 0 的点。 所以令 -3x 平方加 12x 减 5 等于 0， 这样就能找到临界点。 我们需要把 x 解出来。 实际上就是要解一个二次方程， 我不想要这么多负号， 两边乘以 -1， 我喜欢第一项的系数简单些， 所以两边乘以 -1， 得到 3x 平方减 12x 加 5 等于 0。 然后我们直接用二次方程求根公式， x 就等于 -b，也就是 12， 加减根号下 根号画的长些，才够写， 根号下 b 平方， 也就是 144，减 4 倍的 a，也就是 3，乘以 c，也就是 5。 然后除以 2a， 2 乘以 3 得 6。 所以 x 等于 12 加减 根号下，我看看， 4 乘以 3 等于 12，乘以 5 等于 60， 144 减 60 等于 84， 然后再除以 6。 所以 x 等于 12 加根号 84 再除以 6， 或者 x 等于 12 减根号 84 再除以 6。 我们先把这两个算出来， 当然要用计算器。 用计算器来算第一个， 我们有，我看看，12 加根号 84，再除以 6 答案是 3.5——也就是 3.53 吧。 约等于 3.—— 可以再多一位小数，因为是千双， 约等于 3.528。 实际上就是 3528 双鞋， 因为单位是千双鞋。 然后来算这个减的， 我们可以利用上一次的输入， 改一个减号就行了。 不是负号，而是减号。 就可以了。 得到 0.4725， 我记下来， 0.4725。 约等于 0.4725， 我记忆力很差的， 再看看对不对， 4725， 对了。 好的， 这两个就是所有的临界点了。 它们是使导数为零的点， 但我们还不知道它们是不是最小值点， 这些点有可能是 最小值点、最大值点、或者都不是。 因此我要用二阶导数来判断 在这些点上是上凸还是下凸，或者都不是。 那么我们来看二阶导数， p'‘(x) 就等于 -6x 加 12， 那么我们看—— 我把地方弄大一些， 我们来看 p''(3.528)， 我们来试着判断一下， 它在 3 和 4 之间， 如果取较小值，3 乘以 -6 等于 -18，加 12 是小于0 的。 如果这是 4 的话就更小了， 所以它是小于 0 的。 我甚至不需要计算器。 那么这里呢？ 0.47， 好，0.47，差不多就是 0.5， 那么 -6 乘以 0.5 是 -3， 它离负数很远呢， 它肯定是正的。 因此 p’’（0.4725） 大于 0。 我们知道二阶导数小于 0， 就意味着一阶导数在减小， 在 x 等于这个值的时候，一阶导数在减小， 就意味着我们的图像，这个函数， 在这里是上凸的。 而上凸，就意味着大概是这个形状。 你能看到大概是这个形状， 斜率一直在减小， 所以，如果在个区间里斜率一直减小， 而且知道哪个点的斜率就是 0， 就是在 x 等于 3.528 处，它就一定是局部极大值。 因此我们确实在 x 等于 3.528 处取得局部极大值。 而这里呢，我们看这里是下凸的， 这里的图像应该是这个样子。 如果斜率为 0，就是这样， 我们看到，这里是局部极小值。 所以我们绝对不要这么做， 如果我们生产了 472 又 1/2 双鞋， 那就是最小化了利润，最大化了损失。 所以我们绝对不想这么做。 我们来实际考虑一下， 如果我们真的生产了 3.528 千双鞋， 也就是 3528 双鞋，利润有多少。 要算利润，只需要把这个数代入 最初的利润函数就行了。 我们来做， 先把计算器拿出来。 我们最初的利润函数在这里， 我把两边都露出来。 那么 3.528 的 3 次方，加 6 倍的 3.528 平方， 减去 5 乘以 3.528，等于—— 激动人心的时刻到了—— 利润等于 13.128。 我写下来， 如果我生产 3528 双鞋，我的利润就约等于 不是约等于，如果我精确的生产这么多的话。 利润就等于 13.528， 不对，实际上还是约等于， 我四舍五入到 13.128 了嘛。 所以，如果我在给定的时间里生产 3528 双鞋， 我能获得的利润就是 13128 元。 因为这里的单位是千元， 所以这里是 13.128 千元的利润， 也就是 13128 元。 我们马上就会成为有钱的鞋厂老板了。