参考: 基于比例进行推断的条件

当我们想对一个比例进行推断（建立置信区间或做显著性检验）时，我们方法的准确性取决于几个条件。在对区间进行实际计算或测试之前，先检查这些条件是否已满足是非常重要的，否则下面的计算和结论实际上并不有效。

我们对一个比例进行推断需要的条件是：

让我们更深入地看看每一个条件。

随机样本可以从总体中得到无偏数据。当样本不是随机选择时，数据通常会有某种形式的偏差，因此使用未随机选择的数据来推断其总体情况可能会有风险。

更具体的说，抽样比例是对其总体比例的公正估计。比如，如果有一袋糖果，其中 $50\mathrm{\%}$‍ 是橙色的，我们从袋子中随机抽取多个样本，一些样本将有超过 $50\mathrm{\%}$‍ 是橙色，而且一些样本中橙色少于 $50\mathrm{\%}$‍。但是平均来看，每个样本中的橙色糖果比例将等于 $50\mathrm{\%}$‍。我们将其写成 ${\mu }_{\hat{p}}=p$‍，只要抽样是随机的，这个等式就成立。

不过，如果样本不是随机选择的，这种情况也不一定会发生。偏置样本会导致不准确的结果，因此不应使用它们来创建置信区间或进行显著性检验。

只要预期成功次数和失败次数都不少于 $10$‍，$\hat{p}$‍ 的采样分布近似正态。只要样本大小 $n$‍ 足够大就可以满足条件。其证明超出了AP 统计课程的范围，但关于采样分布的教程可以提供一些关于这个条件的启发和验证。

因此，我们需要：

如果我们要建立一个置信区间，在没有 $p$‍ 值的情况下，可以计算样本数据中观察到的成功和失败的数量，来确保它们都不少于 $10$‍。如果要进行显著性检验，可以用样本大小 $n$‍ 和估计的 $p$‍ 来计算预期成功和失败次数。

要使用公式计算 $\hat{p}$‍ 的标准差，个体实测值需要是独立的。在没有替换的情况下采样时，个体实测值其实不是独立的，因为每删除一个值将改变总体数量。

但是 $10\mathrm{\%}$‍ 条件要求抽样大小不多于总体的 $10\mathrm{\%}$‍，我们可以把个体实测值看作是独立的，因为去除每个实测值并不显著地影响总体。例如，如果样本大小 $n=150$‍，总体数量至少应为 $N=1500$‍。

可以用公式计算 $\hat{p}$‍ 的标准差：

在显著性检验中，使用样本大小 $n$‍ 和预期 $p$‍。

如果为 $p$‍ 建立一个置信区间，在未知 $p$‍ 的情况下，可以用 $\hat{p}$‍ 来预测 $p$‍。当我们这样做时，得到的是 $\hat{p}$‍ 的 标准误差，与其标准差作区分。

所以 $\hat{p}$‍ 的标准误差的公式为