消元法解方程组：咖啡和羊角面包

你和你的朋友在一家巴黎咖啡厅。 排在你前面的一个当地人买了一杯咖啡和一个牛角面包 花了5.30欧元。 当你和你的朋友买了两杯咖啡和 两个牛角面包的时候，你们花费了14欧元。 我们可以求出一杯咖啡和一个牛角面包的价格吗？ 通过使用一个含有两个变量 的线性方程组 如果是，请问如何解决？ 如果否，那是我们不能解出的原因是什么？ 所以我们要解决两件事-- 一杯咖啡的价格和一个牛角面包的价格。 那么让我们来定义这两个变量。 因为它们的首字母都是C， 我决定用x和y来表示这两个变量。 所以我们让x等于一杯咖啡的价格。 我们让y等于一个牛角面包的价格。 所以我们首先有关于 我们前面的当地人所做的事情的信息。 我们前面的当地人买了一杯咖啡和 一个牛角面包，价格为5.30欧元。 那么我们如何根据这个信息写出一个等式呢？ 首先有一杯咖啡。 所以我们需要写一个x，或者我们可以只写x， 加一个y因为他还买了一个牛角面包， 总共的价格为5.30欧元。 所以这个等式描述了当地人所做的事情-- 买了一杯咖啡，一个牛角面包，支付了5.30欧元。 现在，当你和你的朋友买了 两杯咖啡和两个牛角面包的时候， 你们支付了14欧元。 那么用什么公式来描述这个呢？ 我们应该付两倍的 一杯咖啡的价格。 所以应该是2x。 然后我们应该付两倍的 牛角面包的价格，所以加上2y。 这些东西的总和应该等于 我们需要付的总价。 我们支付了14欧元。 那么让我们看看我们是否可以解出这个方程组。 有很多方法可以求解。 但是至少最明显的一种是 看看这里，我们有一个x，这里有2x， 这里有一个y，这里有2y。 让我们取第一个描述当地人做的事情的式子 然后乘以二。 所以我们就乘以二。 我们需要等式两边都进行乘法运算， 否则等式就不再成立。 所以我们得到2x加上2y等于2乘以5.30也就是 10.60欧元。 现在，这里有一个非常有趣的事情。 如果当地人买了两倍咖啡以及 两倍牛角面包，他将会需要支付10.60。 而这正好是你买的咖啡 和牛角面包的数量并且你支付了14欧元。 所以看起来很明显你 支付了不同的价格。 你买的咖啡和牛角面包是游客价， 而他买的是本地人价。 然后我们也可以验证没有x和y可以 使得等式成立。 甚至在逻辑上这也能够说得通。 2x加2y为14。 而这里，2x加2y是10.60欧元。 我们甚至可以从数学上证明 这不符合逻辑。 所以如果我们用上面的等式减去下面的等式， 本质上你可以理解为将 底部的整个等式乘以负1。 那么让我们将底部的整个等式乘以负1 然后我们把这两个等式加起来。 记住我们在做的事情是 首先先从一个等式开始，然后 我们往两边加同样的东西。 我们要把这个加到这一边。 然后我们已经知道了负10.60跟 这边是一样的东西，所以我们会把它加到另一边。 所以在等号左边，这一项与这一项抵消， 这一项与这一项抵消，我们剩下了0。 而在等号右边，14减去10.60会得到 3.40。 然后不存在任何x和y能够突然 使得0等于3.40。 因此，没有解。 而这里唯一的解释就是 当地人会获得更便宜的价格。