简化有理表达式简介

当我们刚开始学习分数或有理数时， 我们学习了一些关于最简分数的内容。 所以假设我们看到像3、6这样的数字， 我们就知道3和6有公因子。 我们知道分子，3，就是3，但6 可以写成2 * 3。 因为它们有公因子，在这个例子里就是3了，我们 可以将分子除以3，分母也除以3，或者 我们可以说这就是3/3，它们 互相抵消了。 在最简形式里，这个分数应该写为1/2。 为了达到我们的目的，假如我们有8/24， 又一次，我们知道这等同于3 / (8 * 3)， 或者说跟1/3 * 8/8 是一样的。 8相互抵消了然后我们就得到了最简分数1/3。 这种方式对有理数表达式同样适用。 这些是有理数。 有理数表达式本质上是一样的。 只不过比起分子是一个确定的数字以及 分母也是一个确定的数字，它们的表达式 包含了变量而已。 让我来展示一下我刚才所说的。 假设我有(9x+3) / (12x + 4)。 现在，这里的分子，我们可以将其因式分解。 我们可以将3分解出来。 这就等于3 * (3x + 1)。 这就跟分子是一样的。 然后分母，可以将4分解出来。 就等于4 * 3x。 12除以4是3。 12x除以4等于3x。 加上4除以4等于1。 所以这里，就像这样，分子和分母 就有公因子了。 在这题里，就是3x + 1。 在这道题里，是一个变量表达式。 而不是一个确切的数字，但我们 也可以进行同样的操作。 他们相互抵消了。 如果我们将这个有理数表达式写成 最简分数，我们可以说它等于3/4。 让我们再做一题。 假设我们有x^2—— 我再想一个好的例子。 假设我们有(x^2-9) / (5x + 15)。 所以这里等于什么呢？ 我们可以将分子进行因式分解。 这是一个平方差。 我们得到(x + 3)(x - 3)。 然后分母我们可以将5分解出来。 等于5 * (x + 3)。 所以再一次，分子和分母都有公因子了， 我们可以将它抵消掉。 但我们已经在前几个视频里对这些有所接触了。 我们需要非常小心。 我们可以将它相互抵消掉。 我们可以说这等于(x - 3) / 5， 但我们需要把那些使得分母为0的x值排除在外， 因为这些值会使得 整个表达式变得没有意义。 所以我们可以写成是 (x - 3) / 5， 但x不能等于-3。 -3会使得这里变为零或者说使得 这整一个变为零。 所以这里和这一整个是相等的。 但跟这里是不相等的，因为 这里定义了x = -3，而这里 并没有定义x = -3。 所以为了使得它们相同，我们需要加上 额外的附加条件，也就是x不能等于-3。 所以同样地，这里，如果这是一个函数，假设 我们写y = (9x + 3) / (12 + 4)，我们 想把它画出来，当我们做简化时，我们会尝试， 在分子和分母中 将3x + 1分解出来。 然后相互抵消了。 然后我们想说，这就是 y等于常数3/4的图嘛， 也就是一条位于y = 3/4的水平线。 但我们必须要加上一个条件。 我们需要排除——需要将那些x值， 会使得这整个为零的， 然后这也变成零了，如果x = -1/3的话。 如果x = -1/3，这个或者这个分母 就会等于零。 所以即使在这里，我们也需要说明x不能等于 -1/3。 这个附加条件才能真正使得这两者相等， x不能等于-1/3。 让我们再做几题。 我用粉色来写。 假设题目为 (x^2 + 6x + 8) / (x^2 + 4x)。 实际上，更好的题目是，我写一下。 (x^2 + 6x + 5) / (x^2 - x - 2)。 再说一遍，我们想要将分子和分母都做因式分解， 就好像我们刚开始学习有关分数和最简形式时， 对传统的数字所做的一样。 如果我们将分子进行因式分解， 哪两个数字相乘等于5，相加等于6呢？ 我首先想到的是5和1。 所以分子是(x + 5)(x + 1)。 然后是分母，两个数字。 相乘等于-2，相加等于-1。 我想到了-2和1。 所以这应该是正1，对吧？ (x + 5)(x + 1)，对吧？ 1乘以5等于5。 5x加1x等于6x。 所以这里是+1和-2。 所以(x - 2)(x + 1)。 然后分子和分母 就有公因子了。 这就相互抵消了。 然后你就可以说这里等于 (x + 5) / (x - 2)。 但如果要它们完全相等， 我们需要附加条件。 我们需要加上x不能为-1的条件， 因为如果x等于-1， 这个式子就没有意义了。 我们需要加上额外条件，因为如果就看它本身来说 在x = -1时是有意义的。 你可以代入-1然后 还是会得到一个数字。 但这个式子在x = -1的时候是无意义的，所以我们 需要给它附加一个额外条件 使得它跟它完全相等。 我们来做一个难一点的题目。 假设我们有3x^2 + 3x - 18，这一整块 除以2x^2 + 5x - 3。 当式子里含有的系数不为1 通常会比较难一点，但 我们已经学会如何应对了。 我们可以将它们进行分组， 这是一个很好的练习机会，让我们来试一下。 要记住，将3x^2 + 3x - 18进行因式分解。 那么要想出两个数字。 这只是对分组的一个复习。 你需要想出两个数字， 它们相乘时等于3 * -18，或者说等于 -54，对吧？ 也就是3 * -18。 然后相加时，a + b，需要等于3x 因为我们要将3x分为一个ax和一个bx。 或者更好的方式是，不是等于3x，而是等于3。 所以应该是哪两个数字呢？ 让我们看一下，我们的乘法表。 看一下，它们之间相差三。 就会有一个正数和一个负数。 9乘以6等于54。 假如是正9，然后b 是-6，等式成立。 9减6是3。 9乘-6是-54。 所以我们可以将上面这里重写了。 我们可以重写成 (3x^2 + 9x - 6x -18)。 请注意，我只是将这个3x 写成了9x - 6x而已。 这两个表达式的唯一的区别 仅仅在于我将3x写成了9x - 6x而已。 你把这这两个加起来，就得到3x了。 我这么写其实就可以将括号 省略了。 我这么写只是因为我可以将它们重新分组。 通常情况下，我会根据哪个是正数或者负数 或者公因式来决定哪个项跟哪个项一组。 他们都有公因子3。 实际上，在这个情况下可能根本不重要，但是 我喜欢9在这一边，因为它们都是正数。 所以我们将3x分解出来， 放在表达式的左边。 如果我们将3x分解出来，这里就变为 3x * (x + 3)。 然后在这个表达式里，如果我们将-6分解出来， 就得到-6 * (x + 3)。 现在已经能很清楚看到我们的分组很成功了。 这就等于——我们可以将它结合起来 成为(3x - 6)(x + 3)。 如果你将这个分别乘以这几项， 就会得到这个式子。 所以上面这一项，我们可以重写成3x - 6—— 我用同样的颜色来写。 所以我们可以重写成(3x - 6)(x + 3)。 也就是这一项。 我不想将它写成一个负号。 也就是这一项。 现在我们将底下这部分进行因式分解。 向左拉一下。 假如我要将2x^2 + 5x + 3因式分解，我需要 想出两个数字，乘积为， 2乘以3，也就是等于6，然后 加起来等于5。 这两个数字很明显是2和3了。 我可以将这里重写成2x^2 + 2x + 3x + 3， 像这样。 然后如果我在这加一个括号，我想要 把这个2和这个2放在一起因为它们都有公因子2， 然后将这个3和3放在一起因为它们都有 公因子3。 这里是2和3。 所以这里我们可以将2x分解出来。 如果将2x分解出来，就得到2x * (x + 1)—— 将3分解出来——加上3 * (x + 1)。 然后分组成功。 这里很明显——我换一个颜色—— 这就等于(2x + 3)(x + 1)。 所以我们也将它因式分解了。 分母也因式分解了。 实际上，我才发现我犯了个错误。 我这里写了-3。 这里写了+3。 我再重做一遍。 这是一个很糟糕的失误。 我可能要重新录一遍视频了。 让我把这些都擦掉，这里所有。 擦干净。 这是2x^2 + 5x - 3。 重复一遍，a * b要等于-3乘以2， 也就是-6。 然后a + b要等于5。 在这个情况下，如果我们用6和-1的话， 对情况最有利。 6 - 1 = 5。 6 * -1 = -6。 所以那是一个很糟糕的错误。 我们可以将它重写成2x^2，我会 将6和2x^2分为一组因为 它们有公因子。 加上6x - x就等于5x，减去3。 我只是需要找到两个数字将5x分开来。 但是6x减x等于5x。 如果我在这里加一个括号，我可以将2x 从第一项里分解出来。 就得到2x * (x + 3)。 然后这里可以将-1分解出来，所以 -1 * (x + 3)。 分组成功。 得到2——我用另一个颜色写， (2x - 1)(x + 3)。 所以这里的分母等于 (2x - 1)(x + 3)。 又一次，分子和分母里 有公因式x + 3了。 但我们需要补充附加条件 x不能等于-3，因为这会使得 这一整块等于零。 或者说，使得这里要除以零， 也就是没有意义的。 所以我们要补充x不能等于-3。 这个表达式等于 (3x - 6) / (2x - 1)，要求我们补充附加条件 x不能等于-3。 希望你觉得学这些很有意思吧。