高度不同的发射点和落地点

讲一个稍微复杂一些的二维抛体运动题目 这里 我将从一个平台发射出抛体 然后它将落到另一个平台 抛体发射角度使用一个不大好算的角度 53度 And I'm going to fire the projectile at an angle--use a not so clear number--53° angle 从加农炮中发出 我明确一下 这个角度是53度 从加农炮中出来的炮弹速度是90米/秒 我解释一下发射时的高度 从加农炮口到下面这里 高25米 假设这个高度是9米 这里是从25米高的地方发射 上次视频中 我这样画的加农炮 假设发射时的高度为0 然后炮弹落回高度0 这里 我们假设炮弹从25米高离开炮口 这里 我们假设炮弹从25米高离开炮口 一离开炮口 它就会在竖直方向减速 一离开炮口 它就会在竖直方向减速 最后落地时 假设不是落在同一高度 落在这个不同高度 如何考虑这个问题呢 第一步总是 将速度矢量分解为水平和竖直分量 使用竖直分量求空中待的时间 然后使用水平分量 在已知滞空时间时 求出飞行距离 我们仍然假设 空气阻力可以忽略 和上一节的计算一样 这里我还是准备一步步求解 首先画出矢量 长度是90 这是速度矢量 其角度是53度 x方向同矢量夹角是53度 the x-axis and our vector is 53° 我画一下水平分量 水平分量是这样的 竖直分量则是这样 矢量的竖直分量 这是什么边 这是对边 根据基础三角学知识 角度的sin值是对边/斜边 因此我们知道 sin53度=这个对边… So we know that the sine of 53° is equal to this opposite side-- 等于竖直速度的大小… 下标y表示这是y方向 竖直方向 除以斜边长度 即原矢量的大小 方程两侧可以同时乘以90 有 这一边的大小 等于90乘以sin53度 is going to be equal to 90 times sin 53° 如果要求水平分量 水平分量这一边是角的邻边 根据soh-cah-toa口诀 cos是邻边/斜边 于是有 速度水平分量 也就是x分量的大小 除以斜边90 等于cos53度 is equal to cos 53° cos是邻边比斜边 邻边是这个长度 除以90 两侧同时乘以90有 水平分量大小 等于90乘以cos53度 is equal to 90 times cosine of 53° 如何求出物体在空中的时间呢 用竖直分量来求 由于这里存在高度差 我们不能使用原来那种简单逻辑 不能认为最终速度和初始速度大小相同 方向相反 不能认为最终速度和初始速度大小相同 方向相反 不过我们可以使用上一节推导出的公式 我把这个公式复制下来 复制 粘贴 拖到这里来 我们可以使用这个公式 位移等于初始速度… 这里只看竖直方向 乘以时间改变量 加上加速度?时间改变量的平方/2 那么如何用此公式求出空中滞留时间呢 从25米高到9米高的位移是多少 在这个过程中 物体竖直位移是向下16米 也可以这样考虑 竖直方向上的位移是-16米 对吧 25-9=16 然后可以将此代入到上一节推出的公式 -16… 单位我就不写了 为了节省空间 为了简洁美观 等于初始速度… 记住 这里我们只关心竖直方向 记住 这个负号是因为位移是向下的 高度在减小 这里是竖直速度 我们求过了 是90乘以sin53度 So our vertical velocity, we've already figured that that out. It is 90 times sin 53° 乘以时间改变量 加上重力加速度-9.8米/秒方… 加上重力加速度-9.8米/秒方… 还要除以2 所以是-4.9米/秒方 乘以Δt方 也就是时间改变量平方 如何求解呢 这里显然不能提出Δt来求解 注意到 这是一个二次方程 二次方程的解法是 将所有项放到方程的同一侧 然后要么因式分解 要么采用更一般的二次公式法 这我在其它视频中证明过 竖直位移是-16米时 我们可以用二次公式求解时间 我将得到两个解 其中一个是负的时间改变量 相当于在过去某一时刻 也是-16米 这在本问题中无意义 我们要的是正的时间 下面将所有项放到方程一边 两侧同时加16 左侧得到0 0等于… 我将使用我们所习惯的写法 将高次项写在前 -4.9乘以Δt方 然后+90sin35度乘以Δt and then we have plus 90 times sin 53° times delta t 然后+16 整个式子等于0 这是我们熟知的二次方程 根也就是Δt 我们能用二次公式求出Δt 于是Δt=… 对此不熟的同学 可以参看可汗学院代数系列视频 里面有专门讲二次公式的 甚至讲解了证明过程 它等于-B… B也就是Δt的系数 它等于-90sin53度… It's going to be -90 sin 53°-- 我把二次公式写一下 算是帮助你们回忆一下 方程的一般形式是Ax2+Bx+C=0 其根为2A分之 负B加减根号下B平方减4AC 其根为2A分之 负B加减根号下B平方减4AC ± the square root B^2-4AC, all of that over two times A 这两个x值满足原方程 这里也是一样 这是B值 负B 加减… 我们只关心"加"这一个 因为这才是我们要的正值 我还是都写一下吧 加减根号下 I'll just write it out here, ± square root B平方 也就是这个的平方 也就是90sin53度的平方 So it is 90 sin 53° squared -4AC 其中A是-4.9 C是16 根号一直到这里 整个除以2A A是-4.9 那么2A就是-9.8 下面可以用计算器算出时间改变量了 我只关心"加号"这个根 "减号"这个值留给你们自己求 看结果是否得到负的时间改变量 这没有意义 我们只关心正时间改变量 让位移是-16米的正时间改变量 用计算器算一下 小心点算 -90sin53度加… 这里只看加号 结果得到正值 -90 sin 53° +, I'm doing plus version here because that'll give us a positive value 加上根号下(90sin53度)2… Plus the square root of (90 sin 53°)^2 -- 这里负负得正 于是有4×4.9×16 这是根号下所有内容 这里算出的是分子 然后整个除以-9.8 哦 我发现我错了 我一直在说 加号会给出正的时间 但我意识到这是错的 如果取加号 分子得到正的2.14 但之后还要除以-9.8 结果是负值 这不是我们要的 所以 我们关心这里取减号时的值 我重新用计算器算一下 这次取减号 回退一下 把这个用减号代替 这里取减号 因为结果需要是正时间 此时分子为负值 这才是我们关心的 负的分子除以-9.8 结果四舍五入是14.89秒 Δt的正版本是14.89秒 我最初说这里应该取加号 这是错的 因为这里还有一个负的分母 只有分子为负时 整个式子才会为正 于是得到正的时间为14.89秒 视频有些长了 不过我还是求一下水平位移吧 很快就好 物体在空中待的时间是14.89秒 如果还要问水平位移 水平位移等于在空中的时间乘以常数水平速度 水平位移等于在空中的时间乘以常数水平速度 常数水平速度我们已经求出来了 下面来求x方向的位移 用这个时间 Ans也就是刚算出的答案 乘以这个值 90cos53度 times this value right here times 90 cos 53° 结果是806米 所以这个位移是806米